凹凸性性质

Posted 2020-11-22 keyon-16

设$f$是有限开区间$(a,b)$上凸函数，并且在该区间上有界，证明$limlimits_{x→a^{+}}f(x)$和$limlimits_{x→b^{-}}f(x)$存在

设$x∈(a,b)$时,$f(x)≤M$，$x＞x_{1}＞x_{0}$为$(a,b)$内任意三点，根据$f(x)$凸性，当$x$单调递增时，$$frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$$单调递增

又因为$$frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}≤frac{M-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}$$

根据单调有界准则，有极限

$$limlimits_{x→b^{-}}frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=A$$

从而$$limlimits_{x→b^{-}}f(x)=A(b-x_{0})-f(x_{0})$$存在 同理可证$limlimits_{x→a^{+}}f(x)$存在