CH-0304 IncDec Sequence

Posted 2020-11-22 cautx

0304 IncDec Sequence 0x00「基本算法」例题

描述

给定一个长度为 n(n≤10^5 ) 的数列 {a_1,a_2,…,a_n}，每次可以选择一个区间 [l,r]，使下标在这个区间内的数都加一或者都减一。
求至少需要多少次操作才能使数列中的所有数都一样，并求出在保证最少次数的前提下，最终得到的数列可能有多少种。

输入格式

第一行一个正整数n。
接下来n行，每行一个整数，第i+1行的整数表示ai。

输出格式

第一行输出最少操作次数。
第二行输出最终能得到多少种结果。

样例输入

4
1
1
2
2

样例输出

1
2

数据范围与约定

• 对于100%的数据，n=100000，0<=ai<2147483648

来源

毕克，石家庄二中【Nescafé 22】杯NOIP模拟赛

OJ-ID：
ch-0304

author：
Caution_X

date of submission：
20191117

tags：
差分

description modelling：
给定长度为n的数组{a1,a2,......,an}，每次可以选择区间[l,r]的所有元素加1或减1
问：至少需要多少次操作使得所有的数都相等，最终得到的数列可能有多少种

major steps to solve it：
（1）作差分数组b[]（b[1]=a[1],b[n+1]=0）
（2）目标是使得b2,b3,.....,bn都为0，记p为b[]正数之和，q为b[]负数之和
（3）每一次对a进行的操作都相当于对b选择两个数分别进行+1和-1
（4）现在讨论b中选择地两个数bi,bj：
    a）（2=<i,j<=n）
    b）（i=1&&j<=n）
    c）（i>=2&&j=n+1）
    d）（i=1&&j=n+1）//d为无效操作，必不是最优解所进行的操作
（5）对于+1和-1操作，为了操作数最少，每次选择正数-1，负数+1，需进行操作min(p,q)
（6）当只有正数和负数时，还剩下|p-q|为配对，选择这些未配对的和b[0]或b[n+1]配对，需进行操作|p-q|，每一次操作都会得到一个新的b[0]，所以最终数组个数为|p-q|+1
（7）综上：最少操作数：min(p,q)+|p-q|，最终数组种类|p-q|+1

AC code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a[100005],b[100005];
int main()
{
    ll n;
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&a[i]);
    }
    b[1]=a[1];
    ll s0=0,s1=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        b[i]=a[i]-a[i-1];
        if(b[i]>0)    s0+=b[i];
        else s1+=b[i];
    }
    s0=abs(s0);
    s1=abs(s1);
    b[n+1]=0;
    ll ans0=min(s0,s1)+abs(s0-s1);
    ll ans1=abs(s0-s1)+1;
    printf("%lld
%lld
",ans0,ans1);
    return 0;
}