「Scipy」样条插值在数据可视化中的运用

Posted 2023-05-15

参考技术A

好久没有更新文章了，学校的教材发下来了，作业一下就变多了。

首先，把最终效果放出来：

运用样条插值，即 B-Spline ，可以使你在图表中使用曲线连接离散数据（在插值法中，这些离散数据称为 节点 ）

正如你在上面所看到的那样，在Python中插值非常简单， Scipy 中的 interpolate 为你提供了样条插值所需要的一系列函数。

import部分就不多说了，

这里首先定义了一系列节点，这里数据是随机的，

接下来，首先使用 linspace 为插值提供所需的x值， splrep 根据节点计算了样条曲线的参数，最后将其传递给 splev 计算插值后的结果。

你可能是抱着想要用曲线连接节点的目的来看这篇文章，但看到这里还没搞懂插值法是个什么玩意，那么接下来的内容就是在讲数学中的插值法，与Python和Scipy已无关联。

插值法，就是在给定的节点中作出合适的函数，使得这条曲线 经过每一个节点 ，这也就是为什么在数据可视化中使用插值而不是其他方法的原因，因为插值后仍然能够准确知道每一节点所对应的值。

那么，是不是节点越多，插值的准确性就越高呢？

貌似是这样，毕竟节点越多，对曲线的限制条件就越多，那准确性不久越高了。

但是呢，如果你使用多节点直接插值（不是在程序中插值，因为程序会使用分段样条插值），你就会发现，曲线在两段有明显的震荡，并且节点越多，震荡越明显、越大：

这种现象被称为 Tolmé Runge 现象（ 龙格现象 ），描述的就是这一问题。对此的数学证明在知乎上有， 传送门 。

通过龙格现象，我们会发现，当节点数量趋向于无穷时，插值的误差会趋向于无穷大：

那么，如何避免这一情况呢，可以把我们原先的等距节点替换成Chebyshev节点，但是如果我们的离散数据确实等距，这一方法不好用，那么就可以才用分段插值，我们的程序对龙格现象也是这样处理的。

分段插值就是将高次多项式拆分成多个低次多项式，一般都拆分成三次多项式。

由于插值和拟合常常一起出现，所以这里也简单提一下拟合。

拟合是对你给出的离散数据，作出于数据 差距最小 的函数，另外，按照拟合的结果，拟合也分线性拟合和非线性拟合。

拟合与插值的差别就在于，插值必须过节点，但是拟合不需要，所以拟合曲线的整体效果会更好，也就是更平滑。

拟合一般都用在数据分析里，因为拟合曲线更能够看出整体的变化趋势嘛。

这篇文章写起来难度还是想当大，如果我的描述有问题的话，欢迎评论区留言。

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在Python / Numpy / Scipy中找到两个数组之间的插值交集

我正在寻找一种简单的方法来找到两个Numpy数组之间的插值交集。我知道如果我们有两个函数句柄而不是两个数组，就可以实现这一点，如使用Scipy或使用Sympy在this链接中所示。我想做同样的事情，但是给出了两个数组，特别是线性样条线之间的线性样条线。

例如，假设我们有两个数组，y_1和y_2，两者都是在xSupport评估的。

import numpy as np
xSupport = np.array([0,1])
y_1 = np.array([0,2])
y_2 = np.array([1,0])

我正在寻找返回1/3的函数，它是这两行之间交叉点的x值。在我的应用程序中，支持大于2，所以我正在寻找一种独立于数组长度的方法。

答案

与ser的答案一样：

import numpy as np
x = np.array([0,1])
y1 = np.array([0,2])
y2 = np.array([1,0])

def solve(f,x):
    s = np.sign(f)
    z = np.where(s == 0)[0]
    if z:
        return z
    else:
        s = s[0:-1] + s[1:]
        z = np.where(s == 0)[0]
        return z

def interp(f,x,z):
    m = (f[z+1] - f[z]) / (x[z+1] - x[z])
    return x[z] - f[z]/m

f = y1-y2
z = solve(f,x)
ans = interp(f,x,z)

print(ans)

通过假设您找到零，然后对两个系列的差异执行函数，可以简化问题。首先，'solve'找到符号转换发生的位置（暗示零点出现在其间），然后'interp'执行线性插值以找到解决方案。

另一答案

在Digitizing an analog signal，我创建了一个名为find_transition_times的函数。您可以通过为y_1 - y_2传递y并为0传递threshold来使用该函数：

In [5]: xSupport = np.array([0,1])
   ...: y_1 = np.array([0,2])
   ...: y_2 = np.array([1,0])
   ...: 

In [6]: find_transition_times(xSupport, y_1 - y_2, 0)
Out[6]: array([ 0.33333333])