3D Game Programming withDX11 学习笔记 数学知识总结

Posted 2020-09-18

　　在图形学中，数学是不可或缺的一部分，所以本书最开始的部分就是数学知识的复习。在图形学中，最常用的是矢量和矩阵，所以我根据前面三个章节的数学知识，总结一下数学知识。

一、矢量

 　 数学中的矢量，拥有方向和长度。其实矢量和点在坐标系中的表示完全一致（笛卡尔坐标系为准），区分矢量和点的关键，我觉得就是做平移。点是不能用平移操作来保证一致的，比如点A（1，2，3）经过平移矢量（1，2，3）后就是B（2，4，6），此时就是一个新的点。但是矢量经过相同平移操作后，还是矢量（1，2，3），这是因为矢量表示的是 vector head相对于 vector tail的偏移，平移操作并不会改变这种偏移。

　　在矢量中一个关键就是坐标系，数学中的坐标系主要分为左手坐标系和右手坐标系。我时不时会弄混左手和右手坐标系，后来做了一个快捷的记忆：我的头是y方向，右手伸出来是x方向，那么如果z方向向前是正方向，那我就处于左手坐标系； 如果我的z方向向后是正方向，那我就处于右手坐标系。所以看起来我的脸决定了我的坐标系：)

     矢量的数学操作主要是：加、减、乘三种操作，如果算上求模（求长度），那就是四种操作。A=(x_a,y_a,z_a), B=(x_b,y_b,z_b)

     加：A + B = (x_a+x_b, y_a+y_b, z_a+z_b)

　  减：A - B  = (x_a-x_b, y_a-y_b, z_a-z_b)

 　 乘：A *B   = x_ax_b+y_ay_b+z_az_b

     模：||A||²= x_a² + y_a2+z_a²

     细心的会发现矢量乘的结果变成了一个数，确实，最终的结果就是一个数，其本质就是一种映射或者投影，表示的是A矢量在B矢量方向上的投影长度，矢量的乘可以用公式表示为：

　　A *B   = ||A|| *||B|| * sinθ，其中θ为两个矢量的夹角（由于不熟悉博客的数学公式添加，只有先这写着了，后面熟练了再修改吧）

     矢量中最常见的操作就是归一化，比如有一个矢量的序列{V₀,v₁,V₂...},如何将这些矢量归一化为互相垂直的单位矢量？

     这儿引入投影的一个表示：proj_n(V)= v . n/||n||， 表示的是v在n的单位矢量上的投影，那么对于矢量序列，我们可以这样进行正交归一化：

     1）v₀, v₁,v_2.......

     2) w₀ = v₀;

     3) w₁ = v₁ - proj_w0(v₁)

     4) w₂ = v₂ - proj_w0(v₂) - proj_w1(v₂)

     ........

     根据上面的规律，可以得到正交化的规律：将当前矢量（第一个除外）去除在前面所有矢量上的分量（投影），得到的就是与前面各个适量正交的矢量。

     最后我们将正交化的矢量进行归一化操作，即可得到一组正交归一化矢量序列。

     矢量的最后一个知识点是：矢量的叉积，与矢量点积得到一个投影的结果值不同，矢量的叉积得到的是一个矢量，基本公式为：

     AXB = (y_az_b -z_ay_b, z_ax_b - x_az_b, x_ay_b - y_ax_b)，

　  单看公式看不出规律，不过可以这样理解：xyz, yzx, zxy，分别去掉x, y , z，最后的结果就是三个分量的第一项，然后交换得到三个分量需要减去的第二项

     矢量的叉积的实际意义，就是求得一个和A/B两个矢量都垂直的矢量，这在图形学中，可以用来求解游戏对象的一些常用矢量， 比如上(up)/下(down)/左(left)/右(right)/前(forward)/后(back)这些矢量都是互相垂直的，可以利用矢量的叉积得到。注意在笛卡尔坐标系中，矢量的叉积都是左手定律决定方向的，所以AXB和BXA是刚好方向相反的两个等长矢量。

    

二、矩阵

　　在图形学中，我们会绘制各种各样的游戏实例，这些实例都是用基本的点（verts）和相关的贴图（textures）、材质(material)等共同设置渲染状态的。对于基本的顶点，常常需要做的一个基本操作就是变换：平移、旋转、缩放等。这些变换操作对应的就是矩阵的变换。

      矩阵的定义就不再多说，就是一个nxm的同类元素的集合，通常这个元素就是数字（也可以为其他，这儿不再扩展）。

      矩阵最基本的操作可以分为： 矩阵的乘， 矩阵的转置， 矩阵的行列式， 矩阵的逆

      矩阵的乘积：  C = AB ≠BA

      C矩阵中的每个元素是C_ij是A矩阵的i行和B矩阵j列的对应点积的结果，基于此可以得到A矩阵的列数和B矩阵的行数是相等的（不然怎么做点积....）

      矩阵的转置A^T，就是将矩阵的行和列对换，说的简单点就是一列一列的变，新的每列是以前矩阵的每行竖着排列（感觉就是重新排队）

      矩阵的行列式，是一个比较重要的点，Aij作为行列式的代指，就是去除A矩阵的i行和j列后得到的行列式计算结果，整体的公式为：

      detA = ∑_j=1ⁿ A_1j(-1)^i+jdetA_1j

      可以看出矩阵的行列式计算就是一个递归的计算过程，一般在图形学中的计算不会超过4x4的维度，所以可以用笔算的方式来计算这些矩阵的行列式：）

      基于行列式，可以得到一个新的矩阵： 邻接矩阵A^*，基于基本的矩阵A可以得到一个新的矩阵C_A，其中的元素C_ij = (-1)^i+jdetA_ij，则可以定义邻接矩阵为：

       A^* = C_A^T  基于邻接矩阵，我们可以得到矩阵A的逆矩阵A^-1 ：A^-1 = A^*/detA

   

三、变换矩阵  

     基于矩阵的定义，我们可以将图形学中的一些常见的变换转化为对应的变换矩阵，这样在对点或者矢量进行变换的时候，其对应的数学操作就是一个变换矩阵的操作。基本的变换矩阵可以分为：缩放矩阵， 平移矩阵，旋转矩阵。 

     对于变换矩阵对矢量的作用，可以这样理解：u =(x,y,z) = xi + yj + zk， 那么一个变换操作可以表示为τ(u) = τ(xi + yj + zk) = xτ(i) + yτ(j) + zτ(k) = [x y z] [τ(i) τ(j) τ(k)]^T = uA

     所以说的直白点，就是用矩阵A来表示一种变换操作。那么具体如何表示呢？可以分拆为基本矩阵，然后进行合并即可。

     1、缩放矩阵S

         拆开用行向量表示为S(i) = (s_x .1, s_y.0, s_z.0), S(j) = (s_x .0, s_y.1, s_z.0)，S(k) = (s_x .0, s_y.0, s_z.1)

         则缩放矩阵可以表示为S = [s_i , s_j, s_k]^T, s_i = (s_x,0,0), s_j = (0,s_y,0), s_k = (0,0,s_z)

    2、旋转矩阵R

        其实旋转矩阵是三个矩阵中相对比较难的矩阵，这儿给出一个旋转公式： 

        R_n(V) =  proj_n(v) + R_n(V_⊥)

                 =  (n v) n + cosθ V_⊥  + sinθ (n x v)

                 =  cosθ V + (1 - cosθ)(n v)n + sinθ(n x v)

       具体的常用的三个旋转矩阵可以列出来：

       

     3、平移矩阵T

         平移矩阵比较简单，就不做推算，直接给出结果即可：

          

    综合三种基本矩阵，我们可以进行组合得到一个较为复杂的变换矩阵。不过在图形学的计算中，对于三种矩阵的排序有一定的讲究，一般先用缩放矩阵S对当前的变换对象进行缩放，然后用旋转矩阵R进行旋转操作，最后用平移矩阵T进行平移操作，所以可以归并为SRT矩阵。

    总结：经过基本的矢量，矩阵和变换的数学知识总结后，接下来就要进入正式的图形学知识了，我会在后面持续更新~