矩阵初步

Posted 2020-11-22 h-lka

矩阵，主要用于递推/(dp)优化，以及特别的题目。

运算：

注意，矩阵有(+,-,*,pow)以及矩阵的逆等运算。本文讨论入门的(+,-,*,pow).

对于加法：

[ left[ egin{matrix} 1&3&5\ 2&4&7 end{matrix} ight]+ left[ egin{matrix} 2&9&7 12&9&3 end{matrix} ight] ]
即为：
[ left[ egin{matrix} 3&12&12 14&13&10 end{matrix} ight] ]
就是遵循按位相加的原则，减法同理。
注意矩阵的加减法必须是同行数同列数的矩阵。

对于乘法：

定义(C_{i,j})是(A,B)两个矩阵乘完之后的矩阵对应的第(i)行第(j)列的元素。

规定(A)为(P*M)的矩阵，(B)为(M*Q)的矩阵。

则有:

[C_{i,j}=sum_{k=1}^{M}{A_{i,k}*B_{k,j}}]

也可以简单理解为，对应行乘以对应列。

矩阵快速幂

就是一个矩阵的乘方。

注意，只有方阵才有乘方，即列数等于行数((n*n))

同样地，若求一个矩阵的(k)次方，可以和二进制快速幂一样，重载乘法即可。

注意提到一个概念：矩阵中，和(1)一样的存在是谁呢?我们称之为 $单位矩阵 ，就是对角线上都是(1)，其它位置都是(0)的矩阵。

通过矩阵乘法定义会发现，一个矩阵乘以单位矩阵(称之为(I))等于它本身。

一个简单的单位矩阵：

[ left[ egin{matrix} 1&0&0 0&1&0 0&0&1 end{matrix} ight] ]
代码实现：

struct matrix{
    ll a[4][4];
    matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
    matrix operator*(const matrix&b)const{
        matrix res;
        for(int i=1;i<=2;++i)
            for(int j=1;j<=2;++j)
                for(int k=1;k<=2;++k)
                    res.a[i][j]=(res.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
        return res;
    }
}base,ans;
void qpow(int b){
    while(b){
        if(b&1)ans=ans*base;
        base=base*base;b>>=1;
    }
}

待补(QwQ)