二叉树

Posted 2020-11-22 kenbaicaidemiao

1、树结构常见概念

 

度：结点拥有的子树的数量被称作结点的度。

叶子结点：度为零的结点被称作叶子节点，也叫终端结点。

分支结点：树中除了叶子结点以外的其他结点被称作分支结点，也叫非终端结点。

根结点：根结点是特殊的分支结点，根结点没有父结点。

树的度：树内部各结点度的最大值被称作树的度。

树的高度：树中结点的最大层次被称为树的高度，也叫树的深度。

有序树：如果将树中结点的子树看作从左到右有序（即不可交换），则称该树是有序树。

2、二叉树的定义

  二叉树是一种特殊的有序树，树中的结点的度数不大于2，即树中的结点最多只有两棵子树。

 

二叉树的5种基本形态

 

3、二叉树的性质

性质1  二叉树第i层最多有2^i-1个结点（i>=1）

  等比数列通项公式：a_{n =} a_1·q^n-1

性质2  高度为h的二叉树最多有2^h -1个结点（h>=1）

  等比数列求和公式：S_n = a₁(1-qⁿ)/(1-q)

性质3  对任何一棵二叉树，n₀ = n₂ + 1（n₀、n₁、n_{2分别表示树中度为0、1、2的结点的数量}）

  ①结点总数：

    树的结点总数n = n₀ + n₁ + n₂

   ②分支总数：

    树的分支总数 = n - 1 = n₁ + 2n₂  => n = n₁ + 2n₂ + 1

   （树中除了根结点，其他所有结点都有一个分支进入，所以树的分支总数等于结点总数减1；又因为所有的分支都是由度为1和度为2的结点射出，所有树的分支总数又等于n₁ + 2n₂）

   由①②得：n₀ = n₂ + 1

 

4、特殊二叉树

 

 

 

  满度二叉树和完全二叉树是两种特殊形态的二叉树。

  若二叉树的高度为h，且树的总结点数为2^h - 1,则称该二叉树为满二叉树，也称满度二叉树，该树的特点是，每一层的节点数都达到最大值。

  对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。