最小生成树

Posted 2020-11-22 johnnyzhao

什么时最小生成树？

      一个有n个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有n个结点，并且有保持图连通的最少的边。最小生成树可以用Kruskal算法或Prim算法求出。

　　在一给定的无向图g=(V,E)中，(u,v)代表连接顶点u与顶点v的边，而w(u,v)代表此边的权重，若存在T为E的子集，且为无循环田图，使得w(t)最小，则此T为G的最小生成树。最小生成树其实是最小权重生成树的简称。

最小生成树的应用

　　生成树和最小生成树有许多重要的应用。

　　例如要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这n个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同，因此另一个目的是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。

图的入度和出度

1.构建图的邻接矩阵

示例图：

根据上面示例图的结构，是顶点与顶点之间的连接关系，又带有权值，所以我们可以用邻接矩阵来表示图中顶点的关系：

• 矩阵中的值代表顶点与顶点之间的权值，由于示例是一个无向图，所以这个矩阵是以对角线对称的
• 我们可以将矩阵看成一个二维数组，因此可以创建出这个图的数据结构：