DFT与傅里叶变换的理解

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了DFT与傅里叶变换的理解相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

转自https://www.cnblogs.com/atc001/p/8084797.html

 

根据信号的不同类型,可以把傅立叶变换分为四类:

1) 非周期性连续信号: 傅立叶变换(Fourier Transform,FT)

2) 周期性连续信号: 傅立叶级数(Fourier Series,FS)

3) 非周期性离散信号: 离散时域傅立叶变换(Discrete Time Fourier Transform ,DTFT)

4)周期性离散信号: 离散傅立叶变换(Discrete Fourier Series,DFS)

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根据时域与频域的对应关系,我们可以知道,周期<---->离散,是一对对偶关系,即周期信号的傅里叶变换一定是离散的,离散信号的傅里叶变换一定是周期的,反之也成立。

所以针对上述四种傅里叶变换,我们知道,FT的结果具有连续非周期性质,FS的结果具有离散非周期性质,DTFT结果具有连续周期性质,DFT结果具有离散周期性质。

非周期连续信号的傅里叶变换(FT)为:

F(ω)=x(t)eiωtdtF(ω)=∫−∞∞x(t)e−iωtdt

 

非周期离散序列的傅里叶变换(DTFT)为:

F(ω)=n=x(n)eiωnTsF(ω)=∑n=−∞∞x(n)e−iωnTs

 

周期连续信号的傅里叶变换(FS)为:

 

F(ωk)=1T0Tx(t)eiωktdt=1T0Tx(t)ei2πkt/TdtF(ωk)=1T∫0Tx(t)e−iωktdt=1T∫0Tx(t)e−i2πkt/Tdt

 

周期离散信号的傅里叶变换(DFS)为:

 

F(ωk)=n=0N1x(n)eiωkn=n=0N1x(n)ei2πkNnF(ωk)=∑n=0N−1x(n)e−iωkn=∑n=0N−1x(n)e−i2πkNn

 

假定x(n)为Ts区域上x(t)的均值,且Ts(抽样间隔)足够小,如下图所示:

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则有

 

FFT(ω)=x(t)eiωtdt=n=(n+1)TsnTsx(t)eiωtdt=Tsn=x(n)eiωnTs=TsFDTFT(ω)FFT(ω)=∫−∞∞x(t)eiωtdt=∑n=−∞∞∫nTs(n+1)Tsx(t)eiωtdt=Ts∑n=−∞∞x(n)eiωnTs=TsFDTFT(ω)

 

其中

 

x(n)=1Ts(n+1)TsnTsx(t)dtx(n)=1Ts∫nTs(n+1)Tsx(t)dt

 

所以非周期连续信号与非周期离散信号之间频谱关系为:

FFT(ω)=Ts·FDTFT(ω) (ω<2πfs

同样可以推导周期连续信号与周期离散信号之间频谱关系为:

FFSk)=Ts/T·FDFSk)=1/N·FDFSk) (k<N)

上述等式所加的限定是由于离散信号的频谱具有周期性,等价于原连续信号频谱以fs为周期进行平移。这是由于离散信号的傅里叶变换的核函数具有周期性,例如DTFT的核函数为eiωnTse−iωnTs,当ω增加2πfs时,其值仍然不变。

假若连续信号为一个波包,最高频率为fH,只在有限时间内幅值不为0,则连续信号按周期T延拓后周期信号的傅里叶级数是原连续信号的频域抽样,抽样周期为1/T,其中T为周期信号的周期。公式表示为:

FFSk)=1/T·FFT(ω=ωk)

上述四种傅里叶变换的关系由下图可以对比看出:

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上图中,离散信号的采样周期fs>2fH;FS变换的频谱分辨率为1/T.

在实际使用用计算机处理数据时,要求数据都是有限长度,而上述四种傅立叶变换都是针对无穷长度的信号。

针对有限长度的离散信号,定义了DFT:设x(n)是一个长度为N的有限长序列,则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为:

 

X(k)=DFT[x(n)]=n=0N1x(n)WknN, k = 0, 1, ..., N - 1X(k)=DFT[x(n)]=∑n=0N−1x(n)WNkn, k = 0, 1, ..., N - 1

 

其中WN=exp(-j2π/N).

*matlab FFT函数中的WN的定义与此不一样,与上式中的WN成共轭关系,所以信号做fft之后需要使用fftshift函数变换后才与上式定义一致,这可从helpsin(2π/16*[0:127])fft结果可以看出。

从DFT的定义式可以看出:

1)DFT可以视为非周期连续信号的FT在频域的抽样,值为FDFTk) =fs·FFT(ω=ωk);

2)DFT也可以视为非周期离散信号的DTFT在主周期的抽样,值为FDFTk) =FDTFTk);

3)DFT也可以视为周期连续信号FS,值为FDFTk) =N·FFSk);

4)DFT也可以视为周期离散信号的DFS,但只取DFS的主周期,值为FDFTk) =FDFSk)。

对于上述四种信号的频谱密度,又有:

1)非周期连续信号的FT即为频谱密度;

2)非周期离散信号的频谱密度为FFT(ω)=Ts·FDTFT(ω) =FDTFT(ω)/fs

3)周期信号的频谱密度为FFT(ω)=2πk=FFS(ωk)δ(ωωk)FFT(ω)=2π∑k=−∞∞FFS(ωk)δ(ω−ωk),即在某些频点上,频谱密度无穷大;

4)周期离散信号频谱密度与周期连续信号类似,值为2πNk=FDFS(ωk)δ(ωωk)2πN∑k=−∞∞FDFS(ωk)δ(ω−ωk)。

所以用DFT值得到相应信号的频谱密度,根据上述等式转换即可。如对于非周期连续信号的功率谱密度有:

 

Pω=F2(ω)T=Ts2X2kT=X2kNfsPω=F2(ω)T=Ts2⋅Xk2T=Xk2N⋅fs

 

问题:1)上述几个个等式与Paseval定理f(t)2dt=12πF(ω)2dω∫f(t)2dt=12π∫F(ω)2dω的关系?

            2)各个变换的量纲是什么?

以上是关于DFT与傅里叶变换的理解的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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