原码反码补码详解

Posted niujifei

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了原码反码补码详解相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

一、机器数和真值

  1、机器数

    一个数在计算机中的二进制表示形式,  叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

    比如,十进制中的数 +3 ,计算机字长为8位,转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ,就是 10000011 。

    那么,这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

  2、真值

    因为第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。

    例如上面的有符号数 10000011,其最高位1代表负,其真正数值是 -3, 而不是形式值131(10000011转换成十进制等于131)。

    所以,为区别起见,将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例:0000 0001的真值 = +000 0001 = +1,1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

  

二、原码,反码,补码的基础概念和计算方法

   对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式。

  1、原码

    原码就是符号位加上真值的绝对值,即用第一位表示符号,其余位表示值。

    例如:一个8位二进制

[+1]原 = 0000 0001

[-1]原 = 1000 0001

       第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:

[1111 1111 , 0111 1111]

         即

[-127 , 127]

        原码是人们最容易理解和计算的表达方式。

  2、反码

    反码的表示方法:

      正数的反码就是其本身。

      负数的反码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各个位取反。

    例如:

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反

      如果一个反码表示的是负数,人们无法直观的看出来它的数值,通常要转换为原码再计算。

  3、补码

    补码的表达方法:

      正数的补码就是其本身。

      负数的补码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各位取反,最后+1。(即在反码的基础上+1)

    例如:

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

    对于负数,补码表示方式也无法直观看出其数值的,通常也需要转换成原码在计算其数值。

    总结

    (1)正数的原码,反码,补码都一样。(三码合一)

    (2)负数的原码就是符号位加上真值;其反码除了符号位不变,其他取反;补码就是在反码上+1 即可。

三、为什么要使用原码,反码和补码

  现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数,对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

    但是对于一个负数来说:

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

    可见原码,反码和补码是完全不同的,既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式,为何还会有反码和补码呢?

  首先,因为人脑可以知道第一位是符号位,在计算的时候会根据符号位,选择对真值区域的加减。但是对于计算机,加减乘除已经是最基础的运算,要设计的尽量简单,计算机辨别“符号位”显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂!于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。我们知道,根据运算法则减去一个整数等于加上一个负数,即: 1-1 = 1 + (-1) = 0,所以机器可以只有加法而没有减法,这样计算机运算的设计就更简单了。

  于是人们开始探索,将符号位参与运算,并且只保留加法的方法,首先来看原码:

  计算十进制的表达式: 1 - 1 = 0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

    如果用原码表示,让符号位也参与计算,显然对于减法来说,结果是不正确的,这也就是为何计算机内部不适用原码表示一个数。

  

  为了解决原码做减法的问题,出现了反码:

  计算十进制的表达式: 1 - 1 = 0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

    发现用反码计算减法,结果的真值部分是正确的,而唯一的问题其实就出现在“0”这个特殊的数值上,虽然人们理解上+0和-0是一样的,但是 0 带符号是没有任何意义的,而且会有 [0000 0000] 和[1000 0000] 两个编码表示0。

   于是补码的出现,解决了 0 的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]补 + [1111 1111]补 = [0000 0000]补=[0000 0000]原

 

    这样 0 用 [0000 0000]表示,而以前出现的 -0 则不存在了,而且可以用[1000 0000] 表示 -128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]补 + [1000 0001]补 = [1000 0000]补

   -1-127 的结果应该是 -128,在用补码运算的结果中,[1000 0000] 就是-128。

  但是注意因为实际上使用以前的 -0 的补码来表示-128,所以 -128 并没有原码和反码表示。(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是[0000 0000], 这是不正确的)

  使用补码,不仅仅修复了0 的符号以及存在两个编码的问题,而且还能够多表示一个最低数,这就是为什么8位二进制使用原码或反码表示的范围为[-127,+127],而使用补码表示的范围为[-128, 127]。

  因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-231, 231-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。

四、原码,反码,补码 再深入

    计算机巧妙地把符号位参与运算,并且将减法变成了加法,背后蕴含了怎样的数学原理呢?

    将钟表想象成是一个1位的12进制数. 如果当前时间是6点, 我希望将时间设置成4点, 需要怎么做呢?我们可以:

1. 往回拨2个小时: 6 - 2 = 4

2. 往前拨10个小时: (6 + 10) mod 12 = 4

3. 往前拨10+12=22个小时: (6+22) mod 12 =4

      2,3 方法中的 mod 是指取模操作,16 mod 12 = 4 即用16除以12后的余数是 4 。

    所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代!

    现在的焦点就落在了如何用一个正数,来替代一个负数,上面的例子可以感觉出来一些端倪。

    下面介绍一个数学中相关的概念:同余。

  同余的概念

    两个整数a,b ,若它们除以整数 m 所得的余数相等,则称 a,b对于模 m 同余。

    记作: a ≡ b(mod m)

    读作 a 与 b 关于 模 m  同余。

    举例说明:

4 mod 12 = 4

16 mod 12 = 4

28 mod 12 = 4

     所以4,16,28 关于 模 12 同余。

  负数取模

    正数进行 mod 运算是很简单的,但是负数呢?

    下面的关于 mod 运算的数学定义:

    技术图片

     上面是截图, "取下界"符号找不到如何输入(word中粘贴过来后乱码). 下面是使用"L"和"J"替换上图的"取下界"符号:

x mod y = x - y L x / y J

       上面公式的意思是:

     x mod y 等于 x 减去 y 乘上 x 与 y 的商的下界。

     以 -3 mod 2举例

-3 mod 2

= -3 - 2xL -3/2 J

= -3 - 2xL-1.5J

= -3 - 2x(-2)

= -3 + 4 = 1

    所以:

(-2) mod 12 = 12-2=10

(-4) mod 12 = 12-4 = 8

(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7

  

  开始证明

    再回到时钟的问题上:

回拨2小时 = 前拨10小时

回拨4小时 = 前拨8小时

回拨5小时= 前拨7小时

  注意, 这里发现的规律!

  结合上面学到的同余的概念.实际上:

(-2) mod 12 = 10

10 mod 12 = 10

    -2 与 10 是同余的。

(-4) mod 12 = 8

8 mod 12 = 8

   -4 与 8 是同余的。

  距离成功越来越近了. 要实现用正数替代负数, 只需要运用同余数的两个定理:

  反身性:

a ≡ a (mod m)

 

  这个定理是很显而易见的.

  线性运算定理:

如果a ≡ b (mod m),c ≡ d (mod m) 那么:

(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)

(2)a * c ≡ b * d (mod m)

  如果想看这个定理的证明, 请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm

  所以:

7 ≡ 7 (mod 12)

(-2) ≡ 10 (mod 12)

7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

  

  现在我们为一个负数, 找到了它的正数同余数. 但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即计算结果的余数相等.

  接下来回到二进制的问题上, 看一下: 2-1=1的问题.

2-1=2+(-1) = [0000 0010] + [1000 0001]= [0000 0010] + [1111 1110]

  先到这一步, -1的反码表示是1111 1110. 如果这里将[1111 1110]认为是原码, 则[1111 1110]原 = -126, 这里将符号位除去, 即认为是126.

  发现有如下规律:

(-1) mod 127 = 126

126 mod 127 = 126

  即:

(-1) ≡ 126 (mod 127)

2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

  2-1 与 2+126的余数结果是相同的! 而这个余数, 正式我们的期望的计算结果: 2-1=1

  所以说一个数的反码, 实际上是这个数对于一个膜的同余数. 而这个膜并不是我们的二进制, 而是所能表示的最大值! 这就和钟表一样, 转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!

  而2+126很显然相当于钟表转过了一轮, 而因为符号位是参与计算的, 正好和溢出的最高位形成正确的运算结果.

  既然反码可以将减法变成加法, 那么现在计算机使用的补码呢? 为什么在反码的基础上加1, 还能得到正确的结果?

2-1=2+(-1) = [0000 0010] + [1000 0001] = [0000 0010] + [1111 1111]

  如果把[1111 1111]当成原码, 去除符号位, 则:

[0111 1111] = 127

  其实, 在反码的基础上+1, 只是相当于增加了膜的值:

(-1) mod 128 = 127

127 mod 128 = 127

2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

  此时, 表盘相当于每128个刻度转一轮. 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128].

  但是由于0的特殊情况, 没有办法表示128, 所以补码的取值范围是[-128, 127]

 

  作者:张子秋
  出处:http://www.cnblogs.com/zhangziqiu/ 
  本文版权归作者和博客园共有,欢迎转载,但未经作者同意必须保留此段声明,且在文章页面明显位置给出原文连接,否则保留追究法律责任的权利。

  

以上是关于原码反码补码详解的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

原码, 反码, 补码 详解

原码, 反码, 补码 详解

原码反码补码详解

原码反码补码 详解

[转]原码, 反码, 补码 详解 很全

Java基础——原码, 反码, 补码 详解