Gym - 101981B Tournament (WQS二分+单调性优化dp)

Posted 2020-11-21 asdfsag

题意：x轴上有n个人，让你放置m个集合点，使得每个人往离他最近的集合点走，所有人走的距离和最短。

把距离视为花费，设$dp[i][k]$表示前i个人分成k段的最小花费，则有递推式$dp[i][k]=min{dp[j][k-1]+w(j,i)}$，其中$w(j,i)$可以$O(1)$求出。

显然，如果考虑段数的话，光状态数就有n^2个，肯定行不通。不过这题的最优解对段数的函数是凸的，因此可以用WQS二分来打破段数的限制。

给每个集合点加上一个额外的花费c，然后忽略段数的限制，这样递推式就变成了$dp[i]=min{dp[j]+w(j,i)}+c$，这个递推式满足“决策单调性”，即如果i是由j转移而来，而i‘>i，则j‘>=j。这种dp是有一定的套路的，利用单调队列维护可能成为最优决策点的点以及它的左右边界，中间过程中需要不断地“掐头去尾”，及时弹出队首已经废掉的决策点，每push进一个结点，需要弹出队尾不如它优的决策点，并修改队尾的右边界，保证队首总是最优决策点。

然后在dp的过程中记录段数cnt[n]，如果最优解分成了k段，那么dp[n]-k*c就是在划分为k段的条件下的最优解。根据k与m的大小关系进行二分，直到最优解恰好分成了m段为止。

你如果问为什么满足凸性和决策单调性？蒟蒻表示不会证，反正凭直觉猜就是了，或者打表~~

复杂度$O(nlognlogA)$，这道题还要和卡常斗智斗勇，算法常数过大会T，变量全开longlong也会T...

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 const int N=3e5+10,inf=0x3f3f3f3f;
 5 int n,m,hd,tl,a[N],q[N],cnt[N],L[N],R[N];
 6 ll S[N],dp[N],k;
 7 ll sum(int l,int r) {return S[r]-S[l-1];}
 8 ll w(int i,int j) {
 9     ++i;
10     return sum((i+j+2)>>1,j)-sum(i,(i+j-1)>>1)+k;
11 }
12 int fd(int j,int k) {
13     int ret=R[k]+1,l=L[k],r=R[k];
14     while(l<=r) {
15         int mid=(l+r)>>1;
16         if(dp[j]+w(j,mid)<=dp[k]+w(k,mid))ret=mid,r=mid-1;
17         else l=mid+1;
18     }
19     return ret;
20 }
21 int solve() {
22     hd=tl=0,L[0]=1,R[0]=n,q[tl++]=0;
23     for(int i=1; i<=n; ++i) {
24         for(; hd<tl&&R[q[hd]]<i; ++hd);
25         dp[i]=dp[q[hd]]+w(q[hd],i);
26         cnt[i]=cnt[q[hd]]+1;
27         for(; hd<tl&&dp[i]+w(i,L[q[tl-1]])<=dp[q[tl-1]]+w(q[tl-1],L[q[tl-1]]); --tl);
28         L[i]=(hd<tl?fd(i,q[tl-1]):i+1),R[i]=n;
29         if(hd<tl)R[q[tl-1]]=L[i]-1;
30         q[tl++]=i;
31     }
32     return cnt[n];
33 }
34 ll bi(ll l,ll r) {
35     ll ret;
36     while(l<=r) {
37         ll mid=(l+r)>>1;
38         k=mid;
39         if(solve()>=m)ret=dp[n]-m*k,l=mid+1;
40         else r=mid-1;
41     }
42     return ret;
43 }
44 int main() {
45     scanf("%d%d",&n,&m);
46     for(int i=1; i<=n; ++i)scanf("%d",&a[i]);
47     for(int i=1; i<=n; ++i)S[i]=S[i-1]+a[i];
48     printf("%lld
",bi(0,S[n]+10));
49     return 0;
50 }