一个排列组合的题：把n个不同的球放入m个不同的盒子里且盒子都不能空，有多少种方法？谢谢

Posted 2023-05-07

C(n-1,m-1)

理由是：先设盒子按顺序放的。每个里面都放了一个球，则剩下了N-M个球，把他们要放到M个盒子里面，问题就转化了。

变成了把A个球放入B个盒子的不同方法的问题。这里的A=N-M,而B=M.

后面问题的答案是C(A+B-1,B-1）。

所以答案就是C(N-1,M-1).

两个常用的排列基本计数原理及应用

1、加法原理和分类计数法：

每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。

2、乘法原理和分步计数法：

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。

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逍遥丶綦
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排列组合 "n个球放入m个盒子m"问题 总结 原创
2016-02-12 15:11:17
42点赞

逍遥丶綦

码龄12年

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求，盒子都可以分成是否不能区分，和能区分，还能分成是否能有空箱子，所以一共是8种情况，我们现在来一一讨论。

1.球同，盒不同，无空箱

C(n-1,m-1), n>=m
0, n<m

使用插板法：n个球中间有n-1个间隙，现在要分成m个盒子，而且不能有空箱子，所以只要在n-1个间隙选出m-1个间隙即可

2.球同，盒不同，允许空箱

C(n+m-1,m-1)

我们在第1类情况下继续讨论，我们可以先假设m个盒子里都放好了1个球，所以说白了就是，现在有m+n个相同的球，要放入m个不同的箱子，没有空箱。也就是第1种情况

3.球不同，盒相同，无空箱

第二类斯特林数dp[n][m]
dp[n][m]=m*dp[n-1][m]+dp[n-1][m-1],1<=m<n
dp[k][k]=1,k>=0
dp[k][0]=0,k>=1
0,n<m

这种情况就是第二类斯特林数，我们来理解一下这个转移方程。

对于第n个球，如果前面的n-1个球已经放在了m个箱子里，那么现在第n个球放在哪个箱子都是可以的，所以m*dp[n-1][m];

如果前n-1个球已经放在了m-1个箱子里，那么现在第n个球必须要新开一个箱子来存放，所以dp[n-1][m-1]

其他的都没法转移过来

4.球不同，盒相同，允许空箱

sigma dp[n][i],0<=i<=m,dp[n][m]为情况3的第二类斯特林数

这种情况就是在第3种情况的前提下，去枚举使用的箱子的个数

5.球不同，盒不同，无空箱

dp[n][m]*fact[m],dp[n][m]为情况3的第二类斯特林数,fact[m]为m的阶乘

因为球是不同的，所以dp[n][m]得到的盒子相同的情况，只要再给盒子定义顺序，就等于现在的答案了

6.球不同，盒不同，允许空箱

power(m,n) 表示m的n次方

每个球都有m种选择，所以就等于m^n

7.球同，盒同，允许空箱

dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m], n>=m
dp[n][m]=dp[n][m-1], n<m
边界dp[k][1]=1,dp[1][k]=1,dp[0][k]=1

现在有n个球，和m个箱子，我可以选择在所有箱子里面都放上1个球，也可以不选择这个操作。

如果选择了这个操作，那么就从dp[n-m][m]转移过来

如果没有选择这个操作，那么就从dp[n][m-1]转移过来

8.球同，盒同，无空箱

dp[n-m][m],dp同第7种情况,n>=m
0, n<m

因为要求无空箱，我们先在每个箱子里面放1个球，然后还剩下n-m个球了，再根据情况7答案就出来了

如果有错误，希望菊苣指出~

转载请注明出处... 参考技术B C(n-1,m-1)
理由是：先设盒子按顺序放的。每个里面都放了一个球，则剩下了N-M个球，把他们要放到M个盒子里面，问题就转化了。
变成了把A个球放入B个盒子的不同方法的问题。这里的A=N-M,而B=M.
后面问题的答案是C(A+B-1,B-1）。
所以答案就是C(N-1,M-1). 参考技术C n!S(m,n)
用容斥原理 0

分给我
最好给多点 参考技术D http://chensmiles.blog.163.com/blog/static/121463991200962113136292/
这里说的比较详细，你可以自己去看！本回答被提问者采纳

排列组合

n个不同的球放入m个不同的盒子

(1)盒子可为空(n>=m)：

证明：易计算的结果为m^n;

(2)盒子不可为空（n>=m):

证明：先从n个球中选出m个（C(n,m)），然后将m个球放入m个盒子里且每个盒子至少有一个（m!），剩下的n-m个球再放入这m个盒子（m^(n-m)）（类似于上面）;

所以结果为C(n,m)*(m!)*(m^(n-m));

(3)n<m（必须可为空）:

证明：先选出n个盒子（C(m,n)）,然后就是n个不同的球放入n个不同的盒子（n^n）,

所以结果：C(m,n)*(n^n).