关于概率期望

Posted 2020-11-21 yanxiujie

[概率期望]

感谢(gzy)

首先几个定义：

随机试验：例如投硬币就是个随机试验他的结果是不确定的
样本空间：随机试验得到的结果的集合记为(S)
样本点：集合(S)中的元素(ein S)
随机时间：记为(A)它是一个集合且是(S)的一个子集
随机变量：有多种可能的取值的变量一般设为(X)
独立事件：互不影响的事件
离散变量：只能取有限个的个数

记概率为(P)期望为(E)

集合的运算

(egin{cases}1.A cup B ( 与B至少有一个发生\\2.A cap B iff A * B (A与B同时发生\\3. A-B\\4.A的逆就是A的补集end{cases})

需要注意若(Acap B=emptyset)则(A)与(B)互斥
对于(3.)画个维恩图可能比较直接

一句废话：

频率(=frac{正面朝上的次数}{总次数}) (以掷硬币为例
概率是样本点的一个属性
对于概率为(p)的事件期望(frac{1}{p})次后发生

概率的计算公式：

(P(A)=sum_{ein A}P(e))
几个性质：
(1.P(A)geq 0)
(2.sum_{ein S}P(e)=1)
还有两个不想写了

古典概型：

(P(e)=frac{1}{|S|}) (，) (P(A)=frac{|A|}{|S|})
这不是绝对值这是大小别问我怎么知道的我就是知道

期望的计算公式：

(E(x)=sum P(x=i)*i)

几个比较重要的性质:

(1.)对于独立事件：(E(A *B)=E(A)*E(B))
(2.)对于独立事件：(P(A*B)=P(A)*P(B))
(3.)期望的线性性：(E(X+Y)=E(X)+E(Y))
(4.)对于离散变量：(P(x=k)=P(xleq k)-P(xleq k-1))

EG:

(1.)有(n)个随机变量(X(1...n))，每个随机变量都是从(1...s)中随机一个整数求(Max(X(1...n)))的期望
(Solution:)
设(max)表示序列最大值
(E(max)=sum _{i=1}^sP(max=i)*i)
(=sum_{i=1}^s[P(maxleq i)-P(maxleq i-1)]*i)
(sum _{i=1}^s(frac{i}{s})^n-frac{i-1}{s}^n)

(2.)每次随机一个(1...n)的整数，问期望几次能凑齐所有数
(Solution:)设(A_i)表示已经凑完了(i-1)个数再凑第(i)个数的步数
(E(sum_{i=1}^nA_i)=sum_{i=1}^nE(A_i)=sum_{i=1}^nfrac{n}{n-i+1})

(3.)有(n)堆石子，每堆石子有(p[i])个石子，每次可选择(1)个石子删除其所在堆，问删除第一堆的期望
(Solution:)
设(x_i=)(egin{cases}0\\1end{cases})
(0)表示(i)这堆石头在第一堆石头之前没有被选
(1)表示(i)这堆石头在第一堆石头之前已经被扔了

(S=sum_{i=1}^nX_i)
(E(s)=E(sum_{i=2}^n)=sum_{i=2}^nE(x_i)=sum_{i=2}^nP(x_i)=sum{i=2}^nfrac{a_i}{a_1+a_i})

没了
谢谢收看，祝身体健康！