三元环 四元环

Posted 2020-11-21 zhongzero

枚举三元环

枚举无向图三元环，将无向图转变成有向图，对于一条无向边，定义它的方向为度数大的点连向度数小的点。

我们可以先枚举一个点(i)，再枚举i连出的点(j)，再枚举(j)连出的点(k)，如果((i,k))有边，(ans++)

复杂度：O($m sqrt{m} $)

复杂度证明:考虑枚举(i)和(j)等同于枚举每条边((i,j))，如果(j)的度数小于(sqrt{m}) ，那么对于每一条边((i,j)) 枚举的(k)的次数小于$ sqrt{m}$ 。如果(j)的度数大于(sqrt{m}) ,那么这样的(j) 的不会超过(sqrt{m}) 个，又(i) 点度数比(j)大，这样的(i)点也不会超过(sqrt{m})个，计算次数为

(cnt=sum_{j,deg[j]>sqrt{m}}indeg(j)*outdeg(j)<=sqrt{m}*sum_{j,deg[j]>sqrt{m}}outdeg(j)<=sqrt{m}*m)

枚举四元环

同三元环,将无向图转变成有向图，对于一条无向边，定义它的方向为度数大的点连向度数小的点。

我们可以先枚举一个点(i)，再枚举i连出的点(j)，再枚举(j)连出的点(k)，(ans+=num(i,j),num(i,j)++)

复杂度:(O(m*sqrt{m}))

复杂度证明:同上