P3377 模板左偏树（可并堆） 左偏树浅谈

Posted 2020-11-21 lbssxz

因为也是昨天刚接触左偏树，从头理解，如有不慎之处，跪请指教。

左偏树：

什 么是（fzy说）左偏树啊？

前置知识：

　　左偏树中dist：表示到右叶点（就是一直往右下找，最后一个）的距离，特别的，无右节点的为0。

　　堆：左偏树是个堆。

　　关于左偏性质：可以帮助堆合并（研究深了我也不懂的，看代码理解）

　　对于任意的节点，dist[leftson]>=dist[rightson]，体现了左偏性质。

　　同理可得：对于任意右儿子的父亲节点的dist自然等于右儿子的dist+1喽

关于各种操作：

merge:

　　是插入操作的函数，具体步骤如下：

　　1.对于两个堆x，y，判断x，y是否为0，如果有一个为0，相当于没合并，直接返回另一个有元素的堆。

　　2.找到value值更大的那个堆头放到顶上，如果value值一样的话就按堆顶编号来排序。为了方便代码实现，我们可以规定x为符合条件（小，大跟堆）的那个堆头，然后如果y符合条件就交换x，y值。

　　3.既然堆头找着了，就可以进一步的合并堆头右儿子和y堆了（为了尽量保证左偏的性质）。如此递归下去，随着新堆头被一次次确定，最终这个堆会被一点一点融合到另一个堆中。

　　4.但是，鉴于合成完后，不一定能够保证左子树的dist值一定会比右字数的大，我们只要判断一下是否符合左偏性质，如果不符合，就交换一下当前节点左右子树就行了。因为是递归执行，从更深节点一层一层上来，那么必然的整个堆会符合左偏性质。然后更新一下dist为右子树dist+1.一次merge完成。

代码：

inline int merge(int x, int y)
{
    if(!x||!y)return x+y;
    if(tree[x].value>tree[y].value||(tree[x].value==tree[y].value&&x>y))swap(x,y);
    rs=merge(rs,y);
    if(tree[ls].dist<tree[rs].dist)swap(ls, rs);tree[ls].rt=tree[rs].rt=tree[x].rt=x,tree[x].dist=tree[rs].dist+1;
    //更新dist 
     return x ;
}

 2.pop弹出函数：

弹出函数，即弹出堆顶。方法很简单：没有了堆顶，整个左偏树就被分为了两个小的左偏树。我们只要忽略掉堆顶合并（merge）两个小的左偏树即可。

注意事项：不要忘了堆顶元素相关信息还原为初始。

代码：

inline void pop(int x)//弹出x为堆顶的堆 
{
    tree[x].value=-1,tree[ls].rt=ls,tree[rs].rt=rs;
    tree[x].rt=merge(ls,rs);
} 

 3.get函数：

没啥可说的，就是并查集找父亲并且路径压缩。

代码：

int get(int x)
{
    return x==tree[x].rt?x:tree[x].rt=get(tree[x].rt);
} 

三个函数代码已经完结。

main函数内根据题意进行模拟即可。

总代码：

#include<queue>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define N 100003
#define ls tree[x].son[0]
#define rs tree[x].son[1]
using namespace std;
int read()
{
    int ans=0;
    char ch=getchar(),last=‘ ‘;
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘)last=ch,ch=getchar();
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘)ans=(ans<<3)+(ans<<1)+ch-‘0‘,ch=getchar();
    return last==‘-‘?-ans:ans; 
}
inline void swap(int &x,int &y)
{
    x^=y^=x^=y;
}
int n,num,hea[N],t,judge,b,c;
struct tre{
    int son[2],rt,dist,value;
}tree[N];
inline int merge(int x, int y)
{
    if(!x||!y)return x+y;
    if(tree[x].value>tree[y].value||(tree[x].value==tree[y].value&&x>y))swap(x,y);
    rs=merge(rs,y);
    if(tree[ls].dist<tree[rs].dist)swap(ls, rs);tree[ls].rt=tree[rs].rt=tree[x].rt=x,tree[x].dist=tree[rs].dist+1;
    //更新dist 
     return x ;
}
int get(int x)
{
    return x==tree[x].rt?x:tree[x].rt=get(tree[x].rt);
} 
inline void pop(int x)//弹出x为堆顶的堆 
{
    tree[x].value=-1,tree[ls].rt=ls,tree[rs].rt=rs;
    tree[x].rt=merge(ls,rs);
} 
int main(){
    n=read(),t=read();tree[0].dist=-1;
    for (int i=1;i<=n;i++) 
        tree[i].rt=i,scanf("%d",&tree[i].value);//并差集初始化+输入
    for (int i=1;i<=t;i++){
        judge=read(),b=read();
        if (judge==1){
            c=read();
            if (tree[b].value==-1||tree[c].value==-1) continue ;
            int f1=get(b),f2=get(c);if(f1!=f2)tree[f1].rt=tree[f2].rt=merge(f1,f2);//合并操作
        }
        else {
            if(tree[b].value==-1)printf("-1
") ;
            else printf("%d
",tree[get(b)].value),pop(get(b)) ;//输出并弹出
        }
    }
    return 0 ;
}

完结。