初等函数求导
Posted reverymoon
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了初等函数求导相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
初等函数导数证明
remoon
求C的导数
[f(x) = C]
[lim_{h o 0} frac{f(x+h) - f(x)}{h}]
[=lim_{h o 0} frac{C-C}{h}]
[=lim_{h o 0} frac{0}{h}]
[=0]幂函数导数
[f(x) = x^n(n in R)]
[lim_{h o 0} frac{f(x+h)-f(x)}{h}]
[=lim_{h o 0} frac{(x+h)^n - x^n}{h}]
[=lim_{h o 0} x^{n-1} frac{(1+frac{h}{x})^n - 1}{frac{h}{x}}]
[=lim_{h o 0} x^{n-1} frac{nfrac{h}{x}}{frac{h}{x}}]
[=lim_{h o 0} nx^{n-1}]
[=nx^{n-1}]正弦函数导数
[f(x) = sin x]
[lim_{h o 0} frac{f(x+h) - f(x)}{h}]
[=lim_{h o 0} frac{sin(x+h) - sin(x)}{h}]
[=lim_{h o 0} frac{2cos(x+frac{h}{2})sin(frac{h}{2})}{h}]
[=lim_{h o 0} frac{cos(x+frac{h}{2})sin(frac{h}{2})}{frac{h}{2}}]
[=lim_{h o 0} cos(x+frac{h}{2})]
[=cos(x)]余弦函数导数
[f(x) = cos x]
[lim_{h o 0} frac{f(x+h) - f(x)}{h}]
[=lim_{h o 0} frac{cos(x+h) - cos(x)}{h}]
[=lim_{h o 0} frac{-2sin(x+frac{h}{2})sin(frac{h}{2})}{h}]
[=lim_{h o 0} -frac{sin(x+frac{h}{2})sin(frac{h}{2})}{frac{h}{2}}]
[=lim_{h o 0} -sin(x+frac{h}{2})]
[=-sin(x)]指数函数导数
[f(x) = a^x]
[lim_{h o 0} frac{f(x+h) - f(x)}{h}]
[=lim_{h o 0} frac{a^{x+h} - a^x}{h}]
[=lim_{h o 0} frac{a^x(a^h - 1)}{h}]
[=lim_{h o 0} a^x frac{a^h - 1}{h}]
令[t = a^h - 1]
那么有[h = log_a t+1]
当(h o0)时(t o0)
[=a^xlim_{t o0} frac{t}{log_a t+1}]
[=a^x lim_{t o0} frac{1}{frac{log_a t+1}{t}}]
[=a^x lim_{t o 0} frac{1}{log_a (t+1)^{frac{1}{t}}}]
[=a^x lim_{t o0} frac{1}{log_a e}]
[=a^x lim_{t o0} log_e a]
[=a^x In a]对数函数导数
[f(x) = log_a x]
[lim_{h o 0} frac{f(x+h)-f(x)}{h} ]
[=lim_{h o 0} frac{log_a (x+h) - log_a x}{h}]
[=lim_{h o 0} frac{1}{h} * log_a frac{x+h}{x}]
[=lim_{h o 0} frac{1}{x} * frac{x}{h} * log_a(1+frac{h}{x})]
[=lim_{h o 0} frac{1}{x} * log_a (1+frac{h}{x})^{frac{x}{h}}]
[=lim_{h o 0} frac{1}{x} * log_a e]
[=lim_{h o 0} frac{1}{x} * frac{1}{In a}]
[= frac{1}{x In a}]
以上是关于初等函数求导的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章