整数拆分

Posted 2023-05-02

参考技术A

给定一个正整数 n ，将其拆分为 至少 两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

示例 2:

说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58

方法一：暴力递归 （超时）

设 F(n) 为长度为 n 的绳子可以得到的最大乘积

每次将一段绳子剪成两段时，剩下的部分可以继续剪，也可以不剪
递归函数F(n)=max(i×(n−i),i×F(n−i))   i=1,2,...,n−2

时间复杂度O(n ⁿ )

方法二：备忘录法
避免重复计算

时间复杂度O(n ² )

方法三：动态规划

时间复杂度O(n ² )
方法四：贪心法
找规律的思路：
8 拆分为 3+3+2，此时乘积是最大------>一个整数，要拆成多个 2 和 3 的和，保证乘积最大
据贪心算法，就尽量将原数拆成更多的 3，然后再拆成更多的 2，保证拆出来的整数的乘积结果最大

但上面的解法还有不足。如果整数 n 的形式是 3k+1，例如 7,按照上面规则，会拆分成3 + 3 + 1。但是在乘法操作中，1 是没作用的,此时，应该将 1 和 3 变成 4，也就是3 + 4,此时乘积最大

综上所述，算法的整体思路是：
n 除 3 的结果为 a，余数是 b

如果n很大，2 <= n <= 1000
dp数组int、long都存不下

可以考虑用大数或者是贪心法

Math.pow()可能溢出，所以一步步算，一步步取余

整数的lqp拆分

题目大意

lqp在为出题而烦恼，他完全没有头绪，好烦啊…

他首先想到了整数拆分。整数拆分是个很有趣的问题。给你一个正整数N，对于N的一个整数拆分就是满足任意m>0，a1 ,a2 ,a3…am>0，且a1+a2+a3+…+am=N的一个有序集合。通过长时间的研究我们发现了计算对于N的整数拆分的总数有一个很简单的递推式，但是因为这个递推式实在太简单了，如果出这样的题目，大家会对比赛毫无兴趣的。

然后lqp又想到了斐波那契数。定义F0=0，F1=1，Fn=Fn-1+Fn-2 (n>1)，Fn就是斐波那契数的第n项。但是求出第n项斐波那契数似乎也不怎么困难…

lqp为了增加选手们比赛的欲望，于是绞尽脑汁，想出了一个有趣的整数拆分，我们暂且叫它：整数的lqp拆分。和一般的整数拆分一样，整数的lqp拆分是满足任意m>0，a1 ,a2 ,a3…am>0，且a1+a2+a3+…+am=N的一个有序集合。但是整数的lqp拆分要求的不是拆分总数，相对更加困难一些。对于每个拆分，lqp定义这个拆分的权值Fa1Fa2…Fam，他想知道对于所有的拆分，他们的权值之和是多少？简单来说，就是求

由于这个数会十分大，lqp稍稍简化了一下题目，只要输出对于N的整数lqp拆分的权值和mod （10⁹+7）输出即可。

关于输入

输入的第一行包含一个整数N。

关于输出

输出一个整数，为对于N的整数lqp拆分的权值和mod (10⁹+7)。

样例输入

3

样例输出

5

数据范围

      30%：  0<N<=1000

      100%：   N<10⁶

题解：

可以发现这是一个数列，递推式为：a[n]=2*a[n-1]+a[n-2]

 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define mod 1000000007
using namespace std;
typedef long long lol;
lol f[1000010],n;
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    f[1]=1;
    for(lol i=2;i<=n;i++)f[i]=(2*f[i-1]+f[i-2])%mod;
    printf("%lld\n",f[n]);
}