机器学习 LR中的参数迭代公式推导——极大似然和梯度下降

Posted yymhaha

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了机器学习 LR中的参数迭代公式推导——极大似然和梯度下降相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

 

Logistic本质上是一个基于条件概率的判别模型(DiscriminativeModel)。

                           

技术分享图片

函数图像为:

技术分享图片

通过sigma函数计算出最终结果,以0.5为分界线,最终结果大于0.5则属于正类(类别值为1),反之属于负类(类别值为0)。

如果将上面的函数扩展到多维空间,并且加上参数,则函数变成:

技术分享图片

接下来问题来了,如何得到合适的参数向量θ呢?

 

由于sigma函数的特性,我们可作出如下的假设:

技术分享图片

上式即为在已知样本X和参数θ的情况下,样本X属性正类(y=1)和负类(y=0)的条件概率。

 

将两个公式合并成一个,如下:

技术分享图片

既然概率出来了,那么最大似然估计也该出场了。假定样本与样本之间相互独立,那么整个样本集生成的概率即为所有样本生成概率的乘积:

技术分享图片

为了简化问题,我们对整个表达式求对数,(将指数问题对数化是处理数学问题常见的方法):

技术分享图片

满足似然函数(θ)的最大的θ值即是我们需要求解的模型。

 

梯度上升算法

 

     就像爬坡一样,一点一点逼近极值。爬坡这个动作用数学公式表达即为:

技术分享图片 

其中,α为步长。

回到Logistic Regression问题,我们同样对函数求偏导。

技术分享图片

 

先看:

技术分享图片

其中:

技术分享图片

再由:

技术分享图片

可得:

技术分享图片

接下来就剩下第三部分:

 技术分享图片

(这个公式应该很容易理解,简单的偏导公式)

还有就是:

技术分享图片

综合三部分即得到:

技术分享图片

 

因此,梯度迭代公式为:

技术分享图片

      

       结合本式再去理解《机器学习实战》Page 78中的代码就很简单了。

以上是关于机器学习 LR中的参数迭代公式推导——极大似然和梯度下降的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

机器学习理论基础 | 极大似然估计

机器学习 | 最大熵模型学习的最优化算法

EM算法详解

极大似然估计和最小二乘法

机器学习极大似然估计法

机器学习:极大似然估计