二分查找算法（Binary Search）的时间复杂度

Posted 2023-02-15

参考技术A

这篇文章将要涉及的问题是：二分查找算法（Binary Search）的时间复杂度（Time Complexity）为什么是 O(logN) ?

初始问题：
给定一个包含有N个元素的有序数组A[N]，我们要使用二分法知道元素x是否存在这个数组中。

假设找到 x 我们 最多 需要的步骤是 f(N) 。

第一步，我们将A[N]一分为二，根据有序数组的特性，通过比较x与标的元素的大小，知道了x落入其中一个子数组B[N/2]。此时问题就变成了
给定一个包含有N/2个元素的有序数组B[N/2]，我们要使用二分法知道元素x是否存在这个数组中。
此时我们进行了一次对比，那么 f(n) 可以写成

重复以上步骤，可以得到

以此类推，重复k次之后

如果以上步骤重复了m次之后，数组只余一个元素无法再分，计算结束。此时

于是

也就是说，最多经历log2(N)+1次步骤之后，我们获得查找的结果。所以二分查找算法的时间复杂度为 O(logN) 。