关于for循环的时间复杂度

Posted 2020-11-21 linchongatfirst

  今天在看算法时，遇见了一些问题，想了很久，现总结如下，关于for循环的时间复杂度。我们知道当一重for循环时

package Suanfa;

public class Fortest {
  public static void main(String[] args) {
      int n=100,count=0;
    for(int i=0;i<n;i++) {
        if(true) {
            count++;
        }
    }
}
}

这是最简单的for循环，count执行n次，时间复杂度是N；

如果是for的二重循环呢

package Suanfa;

public class Fortest {
    public static void main(String[] args) {
        int k=100 ,count=0;
        for(int i=0;i<k;i++)
            for(int j=i+1;j<k;j++)
                {
                    if(true)
                        count++;
                }
        System.out.println("k值为："+k);
        System.out.println("count值为    :"+count);
    }
}

 可以看见count输出4950；一般刚接触时，就会觉得这事件复杂度是n的平方，当然一般这样说也没错，但是你有没想过，为什么k输入是100时，count输出是4950，如果k是其他值呢，

count又会是什么，两者之间有什么关系？如果for是三重循环又会是怎样呢？

三重循环的情况如下：

package Suanfa;

public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        int k=100 ,count=0;
        for(int i=0;i<k;i++)
            for(int j=i+1;j<k;j++)
                for(int x=j+1;x<k;x++)
                {
                    if(true)
                        count++;
                }
        System.out.println("k值为："+k);
        System.out.println("count值为    :"+count);
        
    }

}

 

可以看见count输出为161700，当然你也可以试着把k改小一点，当然你要试着探究k和count的关系，在二重for循环、三重for循环、甚至

更多for的情况下，现在我们先讨论二重for循环下 的情况：假定k值为n；那么要使if语句能够执行；需满足

i    0 　　1　　2　　3　　...... n-2　　n-1

j   1　　 2        3       4      ......   n-1.     

当i为0时，j可取1到n-1,使得if语句能够有效执行；同理i=1时，j可取2到n-1;

i=0;  j = 1,2,3,4.....n-1;（if语句执行 （n-1）-1+1 次  即 n-1次）

i =1 ,j =2,3,4....n-1;  （if语句执行 （n-1）-2+1 次  即n-2次）

i=2 , j =3,4,5...n-1;

...

i=n-2,j =n-1  (if语句执行一次）

可得if语句执行的总次数为：  （n-1+1）(n-1-1+1)/2 = (n-1)*n/2,你也可以理解为C（2 n）(姑且这样表示吧），这个东东不知道怎么表示，就是和二项式系数有关的那个，2是上角标，n是下角标;

C（2 n）=n*(n-1)/(2*1);

三重循环时：假定k值为n；那么要使if语句能够执行；需满足：

i    0 　　1　　2　　3　　......         n-3　　

j   1　　 2        3       4      ......          n-2.     

x   2　　3　　4　　5　　........        n-1

经过如上推算，可得 if语句执行总次数为  C(3 n) = n*(n-1)*(n-2)/(3*2*1)=n*(n-1)*(n-2)/6;

四重for循环 ， 可得 if语句执行总次数为    C(3 n) = n*(n-1)*(n-2)*（n-4）/(4*3*2*1)=n*(n-1)*(n-2)/24;

如果你觉得哪里不对，可以指出，欢迎评论，本文将不定期更新。