最大流算法和理论的简单理解

Posted 2020-11-20 cniwoq

我退坑很久了，这篇文章不是因为刷OJ而写的总结，毕竟菜鸡老年人， 23333

之前我学网络流看的是算法书和别人的博客然后就开始套板子，而这次因为考试不得已把课本上的定理都看了一遍，瞬间对最大流算法更加清楚了。

1.定义

在学习网络流算法前要了解的一些知识。

1.对于一个有向的网络$G=(N, A, C)$,其中的$c_{i,j}$表示弧$(i,j)in A$的容量，并设$s,t$为发点和收点，令
$$
x_{i,j}=通过弧(i,j)的流量
$$
2.对于一个满足流量限制的流量称之为可行流，其中限制条件为
(1)守恒方程(对于非收发点，流入流量等于流出流量)
$$
sum_j x_{i,j}-sum_j x_{j,i}=left{
egin{aligned}
+v,,,, i =s \\
0,,,, i eq s,t \\
-v,,,, i =t
end{aligned}
ight.
$$
3.设P是G中从s到t的无向路，若弧$(i,j)$的方向是从s到t，那么称之为前向弧，否则为后向弧。
4.如果对于G的一个无向路P，有前向弧$(i,j)$，$x_{i,j} < c_{i,j}$。有后向弧$(i,j)$，$x_{i, j}>0$则称P为增广路。

2.算法思想

以Ford-Fulkerson算法为例进行介绍

最大流算法的思想是找一条增广路，对其进行增加流量值，使其变成一个新的可行流，直到找不到增广路。

可是为什么是增广路呢？

那是因为增广路有且仅有以下两种情况，均可以增加流量

1.增广路上都是前向弧。

图中黑色数字表示边容量，红色数字表示现有流量。下图同。

对于这种情况，直接对每个边上进行流量的增加就好了。

2.增广路上有后向弧。

这种情况才是网络流中的重中之重。

对于前向弧进行流量的增加一个单位，对于后向弧进行流量的减少一个单位。

为什么要这么做呢？观察弧$(5,4)$，如果我们把这个弧上的流量退掉，那么退掉的这部分流量就可以增加到弧$(5,6)$上，保持节点5的流量守恒，因为节点5的退流，节点4流入的流量就减少一个单位，但是我们把节点4前面的前向弧都增加了一个单位，因此同样保证了节点4的守恒，同时增加了流量。

所以可以利用后向弧的这个特点对增广路进行流量的增加。

这样就得到了增广路的所有情况均可以对流量进行增加。

3.算法的理论证明

下面为网络流的两个主要定理：
1.增广路定理：一个可行流是最大流当且仅当不存在关于它从s到t的增广路。
证明:
首先求出最大流的上界
定义一个弧割$(S,T)$,其中$sin S, tin T$ 【弧割：去掉使得图强连通的分支严格增加的边的集合，这里指的是去掉使得图的点集合N被分成S和T两个集合】
那么割$(S,T)$的容量定义为$C(S,T)=sum_{iin S}sum_{jin T}c_{i,j}$
因此可知从s到t的流量v不会大于$C(S,T)$，即
$$
vleq C(S,T)
$$
然后证明这个这个可行流是最大流

取S为从s可按照增广路到达的点集合，$T=N-S$,那么可以得到对于任意的$iin S$和$jin T$,有前向弧为满流状态，后向弧为0。(因为从i到j已经没有路可走了，只有这两个状态)
因此有
$$
v=sum_{iin S}sum_{jin T}x_{i,j}=sum_{iin S}sum_{jin T}c_{i,j}=C(S,T)
$$
由最大流的上界可以保证此时达到最大流。
2.最大流最小割定理：一个$(s,t)$流的最大值为$(s,t)$割的最小容量。
证明；
根据前面的证明可以知道最大流为C(S,T)的下确界，而在推到过程中可以取到，所以该定理成立。

 

然后所有的理论工作就完成了，剩下的就是对网络进行DFS或BFS直到找不到增广路为止。