B树B-树B+树B*树

Posted 2020-11-20 john8169

0. 简介

在此声明，B-Tree最正确的翻译应该为B树，而不是B-树，也即并没有B-树的说法，二叉树叫Binary Tree，二叉搜索树叫Binary Search Tree（BST）B树叫Balance Tree，简写为B-Tree (注意是这两个单词连起来的意思，不是减号)，B+树是B+ Tree。

1. BST(Binary Search Tree,即二叉搜索树,并不是B树)

1. 所有非叶子结点至多拥有两个儿子（Left和Right,可以只有一个）;
   
2. 所有结点存储一个关键字；
3. 非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；
   如：

http://p.blog.csdn.net/images/p_blog_csdn_net/manesking/1.JPG

B树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中；否则，如果查询关键字比结点关键字小，就进入左儿子；如果比结点关键字大，就进入右儿子；如果左儿子或右儿子的指针为空，则报告找不到相应的关键字；
如果BST树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多（平衡），那么B树的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优点是，改变B树结构（插入与删除结点）不需要移动大段的内存数据，甚至通常是常数开销；
如：
http://p.blog.csdn.net/images/p_blog_csdn_net/manesking/2.JPG
右边也是一个BST树，但它的搜索性能已经是线性的了；同样的关键字集合有可能导致不同的树结构索引；所以，使用BST树还要考虑尽可能让B树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就是所谓的“平衡”问题;
实际使用的BST树都是在原BST树的基础上加上平衡算法，即“平衡二叉树”；如何保持BST树结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键；平衡算法是一种在BST树中插入和删除结点的策略；

2. B树也翻译为B-树(是一种多路搜索树 并不是二叉的)

1. 定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；
2. 根结点的儿子数为[2, M]；
3. 除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；
4. 每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）
5. 非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；
6. 非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；
7. 非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；
8. 所有叶子结点位于同一层；

如：（M=3）
http://p.blog.csdn.net/images/p_blog_csdn_net/manesking/4.JPG
B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点；
B-树的特性：

1. 关键字集合分布在整颗树中；
2. 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；
3. 搜索有可能在非叶子结点结束；
4. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；
5. 自动层次控制；
   由于限制了除根结点以外的非叶子结点，至少含有M/2个儿子，确保了结点的至少利用率，其最底搜索性能为O(log2N),M为设定的非叶子结点最多子树个数，N为关键字总数；所以B-树的性能总是等价于二分查找（与M值无关），也就没有B树平衡的问题；

3. B+树(B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树)

1. 其定义基本与B-树同，除了：
2. 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；
3. 非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树
   （B-树是开区间）；
4. 为所有叶子结点增加一个链指针；
5. 所有关键字都在叶子结点出现；
   如：（M=3）
   http://p.blog.csdn.net/images/p_blog_csdn_net/manesking/5.JPG

B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；
B+的特性：
1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；
2.不可能在非叶子结点命中；
3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；
4.更适合文件索引系统；

4. B树(B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针)
http://p.blog.csdn.net/images/p_blog_csdn_net/manesking/6.JPG
B树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3) * M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）；

B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；
B树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；
所以，B树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；

5. 小结

1. BST树：二叉树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于走右结点；
   
2. B树(错误叫法是B-树)：多路搜索树，每个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点；所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；
   
3. B+树：在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中；
   
4. **B*树：在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3；**