深入理解迪杰斯特拉算法

Posted 2020-11-20 chwlearningnotes

转自 https://blog.csdn.net/qq_36523667/article/details/78779272

 

这里需要一个很好的例子，这里先拿网上流传的例子作为反例。

 

 

问题1：不符合勾股定理

AC=3，CB=2，AB=6

难道这样真的无伤大雅吗？假设你的起点是A，终点是B，难道不应该是两点之间线段最短吗？、

 

问题2：完美地扫到了每个点

按照他的思维逻辑来，确实每个点都可以扫到，但是事实上，我们应该充分考虑没扫到的情况之后是怎样的，这样才能真正理解Dijkstra算法。

 

 

这个图会很容易发现，按照Dijkstra的算法，当前点走动的方向是如图所示的。但是走到E点会发现此路不通，因为没被访问的点剩下了F，G，但是他们之间又是无穷远的。如果读者是这样想的，那就进入思维误区了。

 

正确思考：（设U是未走到过的集合，初始U={A，B，C，D，E，F，G}）

第一次，BCDEFG都是无穷远，设为1000好了，发现A和F、B是相连的，所以用A去更新F、B。

第二次，到达B，U中去除B，剩下CDEFG。到了B，发现DC是可达的，更新DC。发现D更短，去往D。

第三次，到达D，把D从U中去除，剩下CEFG。与D相连的有EC（另外的已访问过所以不再考虑），这里得出E为10，小于1000（无穷远），可以被更新。但是看向C点，却发现9>7.5更新不了。那么A到C的最短路径依然是ABC而不是ABDC。

到达E，这个时候U中剩下F，G。发现7.5+4大于10，还是更新不了，所以A到E还是ABDE最短。

这里就回到了我们之前的关键点了。走Dijkstra算法，不是靠走的，而是靠从U集合中取的！

所以这里取出的是F，成功使用F更新了G，G被更新为7，FD 6+5>7更新不了。

其实A你也可以认为是0。

 

此外，刚才选取的时候，我们怎么知道应该选取F而不是G？假设我们选的是G，但是他自己没有被更新过，所以他也不能更新另外的值。所以我们需要加一个判断，当前值是被更新过的才能去更新另外的值。换个角度，不加判断其实也行。因为如果你取到了一个没有被更新过的数，那么就是1000，1000去更新另外的，只有可能比1000要大，所以他更新谁都不会成功，如果你加个判断，等于是进行了一点点的优化。

 

梳理下流程，不断从U中去取，然后不断更新，直到U中被取完，这样我们就得出了起点到达每个点的最短距离。

但是最短路径怎么求呢？之前我们到达E点断掉了，说明靠走肯定不行，说明直接求最短路径也肯定求不出来。所以我们和之前一样，我们怎么把最短路径长度维护给每个点的，就怎么把最短路径交给每个点去维护。我们需要开一个二维数组，以更新路径的形式即可。

 

优化：采用优先队列去优化。意思就是当你在A的时候，发现AB=3.5，AF=6，另外的1000，都更新他们，再把他们都丢进优先队列，而优先队列会自动替你把这一串，由小到大排好序。所以你只需要取队列的队首元素就可以了，省去了你找到最小值的过程。我们使用优先队列就是节省了排序的时间。此外你可以用Vector或者邻接表，不用像二维数组一样开一个矩阵，会更快。

 

原理：也就是为什么我们要选取U中的最小值来更新而不是任意一个大小的值？因为只有这样，你才能保证你每个点都能被更新成最小值。假设之前你用一个较大的值而没有用最小值去更新，那么就之后就可能会出现，你这个较大的值后来被更新了，但是一开始被你这个较大的值所更新的值并没有被更新到。具体举个例子，看最后一幅图，假如我们一开始取的是F点，那么我们就会把G点更新成7，那么假如之后，发现一条更短的路径到F，我们F点会被更新，但是G点却不会被更新了啊，所以数据就失真了。那么为什么我们从最小的点开始取不会出现这个情况呢？举个例子，我们根据选取最小值来选，AB=3.5，AF=6。那么自然是选AB。然后由B去更新后面的值。这里我们思考一下上面的那个问题，有没有可能发现一条到达B更短的路，从而使得被B更新的最小值全部失效了？肯定就没有了。那为什么上面那个情况有？其实上面那个例子举的不太好，不过讲到这里大家应该也都能明白是为什么了。