连载29：软件体系设计新方向：数学抽象设计模式系统架构与方案设计(简化版)(袁晓河著)

Posted 2020-11-20

概率抽象

 

随机变量：

一个随机试验可能结果（称为基本事件）的全体组成一个基本空间Ω。随机变量X是定义在基本空间Ω上的取值为实数的函数，即基本空间Ω中每一个点，也就是每个基本事件都有实轴上的点与之对应。

离散随机变量：

有些随机变量,它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个,也可以说概率1以一定的规律分布在各个可能值上。这种随机变量称为"离散型随机变量"。

数学分布：

在数学意义上，我们将分布函数的定义表述为：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=P(X≤x)称为X的分布函数。有时也记为X~F(x)。在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。分布函数是一个普遍的函数，正是通过它，我们将能用数学分析的方法来研究随机变量。

前面我们重点讨论的“置换点”我们可以将之抽象为随机变量，因为其能否确定为置换点是具有一定概率的，在进行一次独立无关联的设计过程中，此置换点在除去主观干预的情况下，其最终能够抽象为一个可能性的随机事件。在抽象为随机变量的过程中，我们知道其样本空间Ω就是所有计算机数值变化组成，每一个数值变化即为一个样本点。而“置换点”就是这些样本空间上的子集即为其随机事件，而此随机事件可能是一个基本事件，也可能是多个基本事件的集合，例如在前面我们所涉及到“接口置换”和“函数置换”可以看到，可能一个接口由多个函数组成，一个函数由多个数值变化组成，但是我们的随机事件描述的是子集，所以“接口置换”和“函数置换”其都是一个随机事件。然后根据随机变量的定义，随机变量X（置换点），值取有限或可列无穷多个数值：x₁，x₂，…，x_n，…，（在每次进行设计中可能进行抽象为置换点的情况），记P{X = x_i} = p_i，（抽象为置换点的概率）

所以，我们可以使用随机过程来描述我们的设计过程，通过概率中的已经发现的模型来构建我们整个设计过程的评价，以及对大量的设计经验进行分析和总结，从中形成在数学统计意义基础上的“设计模式”。

测度论基础：

测度论是研究一般集合上的测度和积分的理论。它是勒贝格测度和勒贝格积分理论的进一步抽象和发展，又称为抽象测度论或抽象积分论，是现代分析数学中重要工具之一。 测度理论是概率论的基础。

σ域是由样本空间一些集合为元素（通常包括 ）组成的集合。

F被称为集合系，它是由样本空间Ω一些集合为元素（通常包括Ω）组成的集合。

Borel σ-代数（我用Br表示）,其实概率论中的随机变量，对应测度论中的可测函数，而可测函数就是从可测空间（X，F)到（R，Br）的可测映射：即Br中的任一集合在该映射下的原像都属于F（即都是X上的可测集。

设f是定义在可测集E上的实函数。如果对每一个实数，集E[f>a]恒可测，则称f是定义在 E上的可测函数。

随机变量：设（Ω，F，P）为概率测度空间，若对实数轴上Borel σ-代数中的任一集合（称为Borel集）B，都有 {w∈Ω: X(w) ∈B} ∈F，则称X(w)为随机变量。

从置换的特性可以看出，其置换是一个可测函数，是样本空间Ω的所有子集的集合（也就是幂集）的一个子集。这个子集满足对于可数个集合的并集运算和补集运算的封闭性（因此对于交集运算也是封闭的）。

条件概率：

事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P（A|B），读作“在B条件下A的概率”。

概率推理：

人们根据不确定性信息作出推理和决策需要对各种结论的概率作出估计，这类推理称为概率推理。概率推理既是概率学和逻辑学的研究对象，也是心理学的研究对象，但研究的角度是不同的。概率学和逻辑学研究的是客观概率推算的公式或规则；而心理学研究人们主观概率估计的认知加工过程规律。贝叶斯推理的问题是条件概率推理问题，这一领域的探讨对揭示人们对概率信息的认知加工过程与规律、指导人们进行有效的学习和判断决策都具有十分重要的理论意义和实践意义。

根据我们针对“置换”的随机的抽象处理，我们可以将软件设计的过程抽象为在具有一定先验概率分布（已经确定的设计）的出现的情况下，通过条件概率去推导新的“置换”随机变量的概率分布。

因此，我们就可以通过经典的隐马尔可夫模型和贝叶斯网络模型来针对我们的设计模型进行有效的建模。

不过在此需要关注的是对于多个随机变量来说，都是基于样本独立同分布的假设（随机过程则更是如此），而对于这样的假设可能有误，这需要通过实际验证结果来分析。