汉诺塔及其变形

Posted 2020-11-20 lis-

汉诺塔

一、经典汉诺塔

     有三根相邻的柱子，标号为A,B,C，A柱子上从下到上按金字塔状叠放着n个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子上方，请问至少需要多少次移动，设移动次数为F(n）

   设F[n]表示将n个盘从按规则从X柱移到Z柱至少需要移动的次数。

   当n=1时，F[n]=1；

   当n>1时，将移动盘之的过程分为三步：

   1）将A柱上的n-1个盘依靠Z柱移到Y柱上，这个需要F[n-1]步；

   2）将A柱上剩下的一个盘（最大的盘）移到C柱上，这个需要1步；

   3）将B柱上的n-1个盘依靠A柱移到C柱上，这个需要F[n-1]步；

   所以移完n个至少需要的步数F[n]=F[n-1]+1+F[n-1]=2*F[n-1]+1; 而F[1]=1；由以上两个等式可以推出求F[n]的一般式，即F[n]=2^n-1;

二、汉诺塔II

转自http://www.cnblogs.com/jackge/p/3218066.html

 问题描述：在经典汉诺塔的基础上加一个条件，即，如果再加一根柱子（即现在有四根柱子a,b,c,d)，计算将n个盘从第一根柱子(a)全部移到最后一根柱子(d)上所需的最少步数，当然，也不能够出现大的盘子放在小的盘子上面。注：1<=n<=64;
分析：设F[n]为所求的最小步数，显然，当n=1时，F[n]=1;当n=2时，F[n]=3;如同经典汉诺塔一样，我们将移完盘子的任务分为三步：
（1）将x(1<=x<=n)个盘从a柱依靠b,d柱移到c柱，这个过程需要的步数为F[x];
（2）将a柱上剩下的n-x个盘依靠b柱移到d柱（注：此时不能够依靠c柱，因为c柱上的所有盘都比a柱上的盘小）
     些时移动方式相当于是一个经典汉诺塔，即这个过程需要的步数为2^(n-x)-1（证明见再议汉诺塔一）；
（3）将c柱上的x个盘依靠a,b柱移到d柱上，这个过程需要的步数为F[x];
第（3）步结束后任务完成。
故完成任务所需要的总的步数F[n]=F[x]+2^(n-x)-1+F[x]=2*F[x]+2^(n-x)-1;但这还没有达到要求，题目中要求的是求最少的步数，易知上式，随着x的不同取值，对于同一个n，也会得出不同的F[n]。即实际该问题的答案应该min{2*F[x]+2^(n-x)-1},其中1<=x<=n;在用高级语言实现该算法的过程中，我们可以用循环的方式，遍历x的各个取值，并用一个标记变量min记录x的各个取值中F[n]的最小值。

 

 刚开始推了个dp[i]=2*dp[i-2]+3

结果没想到只是一种情况，不是最优解,>_<，可怜的自己，好菜啊

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <memory.h>
#include <math.h>
using namespace std;

const int maxn=65;
double F[maxn];
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    for(int i=0;i<maxn;i++)F[i]=0x3f3f3f3f;
    F[1]=1;
    F[2]=3;
    for(int x=3;x<=maxn;x++){
        for(int i=1;i<x;i++){
            F[x]=min(F[x],2*F[i]+pow(2,x-i)-1);
        }
    }
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        printf("%d
",(int)F[n]);
    }
    return 0;
}