問題の解決策 [USACO18JAN]Lifeguards P

Posted 2020-11-20 hnfms-jerry

好吧，自己考虑的时候没想过要开多个单调队列来优化dp...

首先，如果一个区间被其他区间包含的话，很明显，它被删除也没影响。所以我们先按左节点排序，去除那些包含的区间，然后对接下来有序的区间进行dp。

dp[i][j]表示前i个区间删掉j个且第i个必取能覆盖的最大面积。

dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[p][j-(i-p-1)]+calc(p,i))//calc(p,i)表示将第i个区间加到第p个区间后时新增的覆盖面积,因为i-p-1显然需要小于等于k，所以时间复杂度是O(nkk)，需优化。

之前的区间分为是否与当前区间有重叠部分这样两种。可以发现如果之前的一个dp[x][y]可以更新dp[i][j]，那么x-y=i-j-1;

所以我们可以开k个单调队列，如果队头的元素已经和当前第i个区间不重叠，就更新不重叠的答案，并弹出队头。

操作完成后，用队头及有重叠部分的区间来更新答案。

将dp[i][j]-a[i].r（为什么是这个值）放入第i-j个单调队列，进行更新。

具体的程序中写。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#define maxn 100009
using namespace std;
int n,k,p[maxn],dp[maxn][109];
struct ding{
  int l,r;
}a[maxn],b[maxn];
struct ding2{
  int node,val;
};
deque<ding2>q[maxn];
bool cmp(ding t1,ding t2)
{return t1.l==t2.l?t1.r>t2.r:t1.l<t2.l;}
int main()
{
  freopen("std.in","r",stdin);
  freopen("std.out","w",stdout);
  scanf("%d%d",&n,&k);
  b[0]=(ding){0,0};
  for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&a[i].l,&a[i].r);
  if (k>=n) 
  {
      printf("0
");
      return 0;
  }
  sort(a+1,a+1+n,cmp);
  int maxx=-1,cnt=0;
  for (int i=1;i<=n;i++)
  {
      if (a[i].r>maxx) b[++cnt]=a[i];
//去掉被包含区间
      else k--;
      maxx=max(maxx,a[i].r);
  }
  if (k<0) k=0; n=cnt;
  for (int i=1;i<=n;i++)
  {
    for (int j=0;j<min(k+1,i);j++)
    {
      int now=i-j-1;
      while ((!q[now].empty())&&(b[q[now].front().node].r<b[i].l))
//如果当前队头的区间和第i个区间不重叠那就弹出
      {
          ding2 to=q[now].front();
          p[now]=max(p[now],to.val+b[to.node].r);
//因为如果有重叠，那么dp[i][j]=dp[x][y]+a[i].r-a[x].r，所以放入队列的元素为dp[x][y]-a[x].r,我们用它来更新不重叠的答案
          q[now].pop_front();
      }
      dp[i][j]=max(dp[i][j],p[now]+b[i].r-b[i].l);
//不重叠区间更新
      if (!q[now].empty())
      dp[i][j]=max(dp[i][j],q[now].front().val+b[i].r);
//重叠的区间更新
      int nowv=dp[i][j]-b[i].r;
      now=i-j;
      while ((!q[now].empty())&&(q[now].back().val<nowv))
      q[now].pop_back();
      q[now].push_back((ding2){i,nowv});
//放入队列
    }
  }
  int ans=0;
  for (int i=1;i<=n;i++)
  for (int j=0;j<min(i,k+1);j++)
  if (j+n-i==k) ans=max(ans,dp[i][j]);
//枚举哪个区间是最后一个被取的
  printf("%d
",ans);
  return 0;
}

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