一些特殊区域的全纯自同构群

Posted 2020-11-20 1036464679hxl

作为亚纯函数理论的应用我们来给出$mathbb C$的全纯自同构群和$mathbb C_{infty}$的亚纯自同构群:\
{heiti 1.}~~~~设$fin { m Aut}(mathbb C)$,那么$f$和$f^{-1}$均为整函数.如果$infty$是可去奇点,那么$f$常值,这不可能.而如果$infty$是$f$的本性奇点,根据Weierstrass定理,对任意的$Ainmathbb C_{infty}$,存在点列$z_n oinfty(n oinfty)$ 使得$$
lim_{n oinfty}f(z_n)=A
$$
如果记$w_n=f(z_n)$,那么$$
f^{-1}(A)=lim_{n oinfty}f^{-1}(w_n)=lim_{n oinfty}z_n=infty
$$
这说明$A$是$f^{-1}$的奇点,与$f^{-1}$是整函数矛盾!因此$infty$只能是$f$的极点,从而$f$必然为多项式,再由单叶性知${ m deg}f=1$.另一方面对任意的一次多项式$$f(z)=az+b,a eq0$$
显然$fin{ m Aut}(mathbb C)$,综上可得$$
{ m Aut}(mathbb C)={az+b:a,binmathbb C ,a eq0}
$$
{heiti 2.}~~~~如果在$mathbb C_{infty}$中讨论,那么${ m Aut}(mathbb C_{infty})$中的元素不再是全纯函数,而是亚纯函数,换言之这里允许$f$有一个极点并且是$1$阶的.此时$infty$为$f$的极点或者可去奇点,从而$f$必然为有理函数,再由他的单叶性可知$f$只能是分式线性变换;另一方面显然任一分式线性变换都是$mathbb C_{infty}$的亚纯自同构,即$$
{ m Aut}(mathbb C_{infty})=left{frac{az+b}{cz+d}:ad-bc eq0 ight}
$$
我们考虑如下映射:egin{align*}
varphi:{ m SL}_2(mathbb C)& o{ m Aut}(mathbb C_{infty})\
left(egin{matrix}a&b\c&dend{matrix} ight)&mapstofrac{az+b}{cz+d}
end{align*}
其中${ m SL}_2(mathbb C)=left{Ain M_2(mathbb C):{ m det}A=1 ight}$,不难验证$varphi$是一个群的满同态且$$
{ m Ker}varphi={E,-E}
$$
其中$E$是$2$阶单位阵,根据群同态基本定理$$
{ m Aut}(mathbb C_{infty})simeq{ m SL}_2(mathbb C)/left{E,-E ight} riangleq:{ m PSL}_2(mathbb C)
$$
{heiti 3}~~~~不妨再来看看上半平面的情形,今后我们用$mathbb H$表示上半平面,即$$
mathbb H=left{zinmathbb C:{ m Im}z>0 ight}
$$
我们来考虑${ m Aut}(mathbb H)$的结构,注意到全纯函数的开映射性质不难得出$f(mathbb R)=mathbb R$,按照如下复合过程egin{align*}
B(0,1)&mathop ightarrowlimits^{varphi}mathbb Hmathop ightarrowlimits^{f}mathbb Hmathop ightarrowlimits^{phi}B(0,1)\
0&mapsto amapsto bmapsto 0
end{align*}
这里$a,binmathbb H$.显然这样的$varphi,phi$是存在的,事实上$$
varphi^{-1}(z)=frac{z-a}{z-overline{z}},phi(z)=frac{z-b}{z-overline b}Rightarrowphi^{-1}(z)=frac{zoverline{b}-b}{z-1}
$$
显然$g=phicirc fcircvarphiin { m Aut}(B(0,1))$且$g(0)=0$,从而存在$ hetainmathbb R$使得egin{align*}
phicirc fcircvarphi(z)&=e^{i heta}z\
Rightarrow f(z)&=phi^{-1}left(e^{i heta}varphi^{-1}(z) ight)\
&=frac{left(e^{i heta}overline b-b ight)z+boverline a-e^{i heta}aoverline b}{left(e^{i heta}-1 ight)z+overline a-e^{i heta}a}
end{align*}
注意到$$
A=frac{e^{i heta}overline b-b}{e^{i heta}-1}inmathbb R,B=frac{boverline a-e^{i heta}aoverline b}{e^{i heta}-1}inmathbb R,D=frac{overline a-e^{i heta}a}{e^{i heta}-1}inmathbb R
$$
并且$AD-B eq0$,不难得出$$
{ m Aut}(mathbb H)=left{frac{az+b}{cz+d}:a,b,c,dinmathbb R ext{且}ad-bc eq0 ight}
$$
同样的方法利用群同态基本定理可以得到$$
{ m Aut}(mathbb H)simeq{ m SL}_2(mathbb R)/{E,-E} riangleq:{ m PSL}_2(mathbb R)
$$