loj Snakes 的 Naïve Graph 数论

Posted 2020-11-20 mychael

题目链接

loj

题解

感谢珂神的指导orz

观察式子(i imes j equiv 1 pmod m)，显然(i,j)是模(m)意义下成对的逆元，只需统计模(m)意义下存在逆元的数的个数，即与(m)互质的数的个数(varphi(m))
每对逆元的连边有两种情况，记逆元对数为(x)，则方案数为(2^x)

真的完了吗？难点才刚开始
模(m)意义下有的数逆元为本身！此时不能计入答案
所以我们还需求模(m)意义下逆元为本身的数的个数

重新理解一下中国剩余定理，本质是环同构
令(m = a_1a_2a_3dots)
其中(a_i = p_i^{k_i})
那么首先在模(a_i)意义下分别有一个整环
我们把这些整环放在一起，用向量表示，成一个新环，可与模(m)意义下的整环一一对应，即环同构
例如(Z/6 = Z/2 centerdot Z/3)
则对应关系
0 (0,0)
1 (1,1)
2 (0,2)
3 (1,0)
4 (0,1)
5 (1,2)

环同样满足加减乘
所以我们需要求出在模每个(a_i)下平方等于(1)的数的个数，乘起来即可
[ egin{aligned} x^2 equiv 1 pmod m (x + 1)(x - 1) equiv 0 pmod m end{aligned} ]

所以我们只需((x + 1)(x - 1))为(m)的倍数即可
对于(p > 2)，(p)不能同时整除((x + 1))和((x - 1))，所以只能一者为(0)，所以有两种方案
对于(p = 2)，((x + 1)(x - 1))必须都是偶数，显然有一个不能整除(4)，所以另一个应能整除(2^{k-1})，或者两个如(p > 2)的情况，有一者为(0)，但是(k le 2)时会重复，所以特判一下，(k = 1)为(1)，(k = 2)为(2)，否则为(4)
以上线筛处理即可

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>
#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define mp(a,b) make_pair<int,int>(a,b)
#define cls(s) memset(s,0,sizeof(s))
#define cp pair<int,int>
#define LL long long int
#define res register
using namespace std;
const int maxn = 10000005,maxm = 100005,INF = 1000000000,P = 311021;
inline int read(){
    int out = 0,flag = 1; char c = getchar();
    while (c < 48 || c > 57){if (c == ‘-‘) flag = -1; c = getchar();}
    while (c >= 48 && c <= 57){out = (out << 3) + (out << 1) + c - 48; c = getchar();}
    return out * flag;
}
int p[maxn],pi,isn[maxn],phi[maxn],N = 10000000;
int f[maxn],bin[maxn],tw[maxn],tot[maxn],all[maxn];
void init(){
    phi[1] = 1;
    for (res int i = 2; i <= N; i++){
        if (!isn[i]){
            p[++pi] = i,phi[i] = i - 1;
            if (i == 2) tw[i] = 1;
            else tot[i] = 1;
        }
        for (res int j = 1; j <= pi && i * p[j] <= N; j++){
            isn[i * p[j]] = true;
            if (i % p[j] == 0){
                phi[i * p[j]] = phi[i] * p[j];
                if (p[j] == 2){
                    tw[i * p[j]] = tw[i] + 1;
                    tot[i * p[j]] = tot[i];
                }
                else{
                    tw[i * p[j]] = tw[i];
                    tot[i * p[j]] = tot[i];
                }
                break;
            }
            phi[i * p[j]] = phi[i] * (p[j] - 1);
            if (p[j] == 2){
                tot[i * p[j]] = tot[i];
                tw[i * p[j]] = tw[i] + 1;
            }
            else{
                tot[i * p[j]] = tot[i] + 1;
                tw[i * p[j]] = tw[i];
            }
        }
    }
    bin[0] = 1;
    for (res int i = 1; i <= N; i++)
        bin[i] = (bin[i - 1] << 1),bin[i] >= P ? (bin[i] -= P) : 0;
    for (res int i = 1; i <= N; i++){
        all[i] = bin[tot[i]];
        if (tw[i] == 2) all[i] = all[i] * 2 % P;
        else if (tw[i] > 2) all[i] = all[i] * 4 % P;
    }
    for (res int i = 1; i <= N; i++){
        f[i] = f[i - 1] + bin[(phi[i] - all[i]) >> 1],f[i] >= P ? (f[i] -= P) : 0;
    }
}
int c[maxn],ci;
int main(){
    init();
    int q = read(),l,r;
    while (q--){
        l = read(); r = read();
        printf("%d
",(f[r] - f[l - 1] + P) % P);
    }
    return 0;
}