线性代数,求解矩阵方程

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了线性代数,求解矩阵方程相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

参考技术A

对于这种函数,可以把z看成是x和y的隐函数。可以在对等式两边同时对x求导,那么对x可以正常求导,这时y属于常数项,直接时就等于零,遇到z就写成az/ax,整理之后求出az/ax。同样,可以在对等式两边同时对y求导,那么对y可以正常求导,这时c属于常数项,直接时就等于零,遇到z就写成az/ay就行,所以选C。向量组A:a1,a2,···am线性相关的充分必要条件是它所构成点矩阵A=(a1,a2,...,am)的秩小于向量个数m;向量组A线性无关的充分必要条件是R(A)=m.

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线性方程理论说明和Eigen解线性方程求解方法汇总

文章目录

1. 线性方程组(矩阵方程)理论

线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组,方程表示如下:

  a 1 x 1 + b 1 x 2 + c 1 x 3 = d 1   a 2 x 1 + b 2 x 2 + c 2 x 3 = d 2   a 3 x 1 + b 3 x 2 + c 3 x 3 = d 3 \\left\\\\beginmatrix \\ a_1x_1+b_1x_2+c_1x_3=d_1\\\\ \\ a_2x_1+b_2x_2+c_2x_3=d_2\\\\ \\ a_3x_1+b_3x_2+c_3x_3=d_3 \\endmatrix\\right.  a1x1+b1x2+c1x3=d1 a2x1+b2x2+c2x3=d2 a3x1+b3x2+c3x3=d3
把线程方程写成矩阵形式如下:
A x = b Ax = b Ax=b
其中,
A = ( a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ) , x = ( x 1 x 2 x 3 ) , d = ( d 1 d 2 d 3 ) A=\\beginpmatrix a_1& b_1& c_1\\\\ a_2& b_2& c_2\\\\ a_3& b_3& c_3 \\endpmatrix,x =\\beginpmatrixx_1\\\\x_2\\\\x_3\\endpmatrix,d=\\beginpmatrixd_1\\\\d_2\\\\d_3\\endpmatrix A=a1a2a3b1b2b3c1c2c3,x=x1x2x3,d=d1d2d3

Eigen中提供了丰富的线性方程求解方法,包括LU分解法,QR分解法,SVD(奇异值分解)、特征值分解等根据A的矩阵类型、对结果的精度要求以及计算速度的要求,可以选择不同的计算方式,下面一一进行介绍。

下图是Eigen一些分解方法的简介。

如果对矩阵很了解,那么可以很方便的选择一种合理的求解方法,比如如果矩阵A是满秩且非对称矩阵,那么可以选用PartialPivLU求解方法,如果知道你的矩阵是对称正定的,那么选用LLT或者LDLT分解是一个很好的选择。下图是一些求解方法的速度。

2. QR分解

QR(正交三角)分解法是求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法,一般矩阵先经过正交相似变化成为Hessenberg矩阵,然后再应用QR方法求特征值和特征向量。它是将矩阵分解成一个正规正交矩阵Q与上三角形矩阵R,所以称为QR分解法,与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。

A = Q R A = QR A=QR
其中Q是正交矩阵(或酉矩阵),即 Q Q T = 1 QQ^T=1 QQT=1 R R R是上三角矩阵。QR分解有三种常用方法:Givens 变换、Householder 变换,以及 Gram-Schmidt正交化。

  • HouseholderQR:无旋转(no pivoting),速度很快但不稳定
  • ColPivHouseholderQR:列旋转(column pivoting),速度稍慢但更精确
  • FullPivHouseholderQR:全旋转(full pivoting),速度慢,最稳定

下面的代码无法比较速度和精度,因为矩阵太小了。

2.1 HouseholderQR

HouseholderQR分解是3种QR分解中速度最快的一种,但精度最低。

#include <iostream>
#include<sys/time.h>
#include <Eigen/Dense>
 
using namespace std;
using namespace Eigen;
 
int main()

   Matrix3f A;
   Vector3f b;
   A << 1,2,3,  4,5,6,  7,8,10;
   b << 3, 3, 4;

    struct timeval start, end;
    gettimeofday(&start, NULL);

   cout << "Here is the matrix A:\\n" << A << endl;
   cout << "Here is the vector b:\\n" << b << endl;
   Vector3f x = A.householderQr().solve(b);
   cout << "The solution is:\\n" << x << endl;

   gettimeofday(&end, NULL);
   int timeuse = 1000000 * (end.tv_sec - start.tv_sec) + end.tv_usec - start.tv_usec;
   printf("线性方程组计算耗时:  %d  us\\n", timeuse);

输出:

Here is the matrix A:
 1  2  3
 4  5  6
 7  8 10
Here is the vector b:
3
3
4
The solution is:
      -2
0.999998
       1
线性方程组计算耗时:  480  us

2.2 ColPivHouseholderQR

ColPivHouseholderQR速度和精度位于3个分解方法中的中间状态,是一个很好的折中方法。

  • 代码举例
#include <iostream>
#include<sys/time.h>
#include <Eigen/Dense>
 
using namespace std;
using namespace Eigen;
 
int main()

   Matrix3f A;
   Vector3f b;
   A << 1,2,3,  4,5,6,  7,8,10;
   b << 3, 3, 4;

    struct timeval start, end;
    gettimeofday(&start, NULL);

   cout << "Here is the matrix A:\\n" << A << endl;
   cout << "Here is the vector b:\\n" << b << endl;
   Vector3f x = A.colPivHouseholderQr().solve(b);
   cout << "The solution is:\\n" << x << endl;

   gettimeofday(&end, NULL);
   int timeuse = 1000000 * (end.tv_sec - start.tv_sec) + end.tv_usec - start.tv_usec;
   printf("线性方程组计算耗时:  %d  us\\n", timeuse);

输出:

Here is the matrix A:
 1  2  3
 4  5  6
 7  8 10
Here is the vector b:
3
3
4
The solution is:
      -2
0.999997
       1
线性方程组计算耗时:  482  us

2.3 FullPivHouseholderQR

FullPivHouseholderQR分解是3个QR分解中精度最高的一种,但是它的速度也是最慢的。

#include <iostream>
#include<sys/time.h>
#include <Eigen/Dense>
 
using namespace std;
using namespace Eigen;
 
int main()

   Matrix3f A;
   Vector3f b;
   A << 1,2,3,  4,5,6,  7,8,10;
   b << 3, 3, 4;

    struct timeval start, end;
    gettimeofday(&start, NULL);

   cout << "Here is the matrix A:\\n" << A << endl;
   cout << "Here is the vector b:\\n" << b << endl;
   Vector3f x = A.fullPivHouseholderQr().solve(b);
   cout << "The solution is:\\n" << x << endl;

   gettimeofday(&end, NULL);
   int timeuse = 1000000 * (end.tv_sec - start.tv_sec) + end.tv_usec - start.tv_usec;
   printf("线性方程组计算耗时:  %d  us\\n", timeuse);

以上是关于线性代数,求解矩阵方程的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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