Tarjan算法强连通分量

Posted 2020-11-20 demian

转自：byvoid：有向图强连通分量的Tarjan算法

Tarjan算法是基于对图深度优先搜索的算法，每个强连通分量为搜索树中的一棵子树。搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的所有节点是否为一个强连通分量。

有两个概念：1.时间戳，2.追溯值

时间戳是dfs遍历节点的次序。

定义DFN(u)为节点u搜索的次序编号(时间戳)，Low(u)为u或u的子树能够追溯到的栈中节点最小的次序号。由定义可以得出：

1 Low(u)=min{
2     DFN(u),   // 自己的次序号
3     Low(v),   //(u,v)为树枝边，u为v的父节点
4     DFN(v),   //(u,v)为指向栈中节点的后向边(非横叉边)
5 }

即以下节点的最小值：

1. 自己、子树节点的次序号

2. 指向栈中节点(后向边节点)的次序号[等价于 DFN(v)<DFN(u)且v不为u的父亲节点]，这里不是横叉边(指向不在栈中的节点)。

当DFN(u)=Low(u)时，以u为根的搜索子树上所有节点是一个强连通分量。

伪码：

 1 tarjan(u)
 2 {
 3     DFN[u]=Low[u]=++Index     // 为节点u设定次序编号和Low初值
 4     Stack.push(u)             // 将节点u压入栈中
 5     for each (u, v) in E      // 枚举每一条邻边
 6         if (v is not visted)  // 如果节点v未被访问过
 7             tarjan(v)         // 继续向下找
 8             Low[u] = min(Low[u], Low[v])　　　　　
 9         else if (v in S)      // 如果节点v还在栈内
10             Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
11     if (DFN[u] == Low[u])     // 如果节点u是强连通分量的根
12         repeat
13             v = S.pop         // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
14             print v
15         until (u== v)
16 }

运行Tarjan算法的过程中，每个顶点都被访问了一次，且只进出了一次堆栈，每条边也只被访问了一次，所以该算法的时间复杂度为O(N+M)。

一个顶点u是割点，当且仅当满足(1)或(2)

(1) u为树根，且u有多于一个子树。

(2) u不为树根，且满足存在(u,v)为树枝边(或称父子边，即u为v在搜索树中的父亲)，使得DFN(u)<=Low(v)。即：若某点的子树们能回到的点大于等于自己，则该点为割点

一条无向边(u,v)是桥，当且仅当(u,v)为树枝边，且满足DFN(u)<Low(v)。