动态规划——01背包问题
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了动态规划——01背包问题相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
0-1 背包问题
给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包,物品 i 的重量是 wi,其价值为 vi 。
问:应该如何选择装入背包的物品,使得装入背包中的物品的总价值最大?
面对每个物品,我们只有选择拿取或者不拿两种选择,不能选择装入某物品的一部分,也不能装入同一物品多次。
解决办法:声明一个 大小为 m[n][c] 的二维数组,m[ i ][ j ] 表示 在面对第 i 件物品,且背包容量为 j 时所能获得的最大价值 ,那么我们可以很容易分析得出 m[i][j] 的计算方法,
(1). j < w[i] 的情况,这时候背包容量不足以放下第 i 件物品,只能选择不拿
m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]
(2). j>=w[i] 的情况,这时背包容量可以放下第 i 件物品,我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。
如果拿取,m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。 这里的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品,背包容量为j-w[i]时的最大价值,也是相当于为第i件物品腾出了w[i]的空间。
如果不拿,m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同(1)
究竟是拿还是不拿,自然是比较这两种情况那种价值最大。
例题
#include<iostream>
using namespace std;
int dp[101][101] = {0},x[101] = {0};
int m[101] = {0,15,10,12,8}; //投资
int v[101] = {0,12,8,9,5}; //收益
int c = 30,n = 4; //c为总重, n为种类数
void trace(){
for(int i = 4; i > 1; i--){
if(dp[i][c] == dp[i-1][c])
x[i] = 0;
else{
x[i] = 1;
c -= m[i];
}
}
x[1] = dp[1][c]>0 ? 1:0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
cout << x[i] << " ";
cout << endl;
}
int main(){
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= c; j++){
if(j >= m[i]){
dp[i][j] = dp[i-1][j-m[i]]+v[i]>dp[i-1][j] ? dp[i-1][j-m[i]]+v[i]:dp[i-1][j];
}
else
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
}
for(int i = 1; i <= n; i++){
for(int j = 1; j <= c; j++){
cout << dp[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
cout << dp[n][c] << endl;
trace(); // 输出方案
return 0;
}
结果
0 1 1 1表示选择后3个,即B C D项目
以上是关于动态规划——01背包问题的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章