动态规划——01背包问题

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了动态规划——01背包问题相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

0-1 背包问题

给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包,物品 i 的重量是 wi,其价值为 vi 。

问:应该如何选择装入背包的物品,使得装入背包中的物品的总价值最大?

面对每个物品,我们只有选择拿取或者不拿两种选择,不能选择装入某物品的一部分,也不能装入同一物品多次。

解决办法:声明一个 大小为 m[n][c] 的二维数组,m[ i ][ j ] 表示 在面对第 i 件物品,且背包容量为 j 时所能获得的最大价值 ,那么我们可以很容易分析得出 m[i][j] 的计算方法,

(1). j < w[i] 的情况,这时候背包容量不足以放下第 i 件物品,只能选择不拿

m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]

(2). j>=w[i] 的情况,这时背包容量可以放下第 i 件物品,我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。

如果拿取,m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。 这里的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品,背包容量为j-w[i]时的最大价值,也是相当于为第i件物品腾出了w[i]的空间。

如果不拿,m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同(1)

究竟是拿还是不拿,自然是比较这两种情况那种价值最大。

例题

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#include<iostream>
using namespace std;
int dp[101][101] = {0},x[101] = {0};
int m[101] = {0,15,10,12,8};  //投资 
int v[101] = {0,12,8,9,5};    //收益 
int c = 30,n = 4; //c为总重, n为种类数 
void trace(){
    for(int i = 4; i > 1; i--){
        if(dp[i][c] == dp[i-1][c])
            x[i] = 0;
        else{
            x[i] = 1;
            c -= m[i];
        }
    }
    x[1] = dp[1][c]>0 ? 1:0; 
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cout << x[i] << " ";  
    cout << endl;
}
int main(){

    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= c; j++){
            if(j >= m[i]){
                dp[i][j] = dp[i-1][j-m[i]]+v[i]>dp[i-1][j] ? dp[i-1][j-m[i]]+v[i]:dp[i-1][j];
            }
            else
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1; j <= c; j++){
            cout << dp[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << dp[n][c] << endl;
    trace();         // 输出方案 
                
    return 0;
} 


结果

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0 1 1 1表示选择后3个,即B C D项目

以上是关于动态规划——01背包问题的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

动态规划问题3--多重背包

动态规划之01背包问题(含代码C)

动态规划-第二节:动态规划之背包类型问题

动态规划本质理解:01背包问题

动态规划背包问题总结

分别用回溯法和动态规划求0/1背包问题(C语言代码)