具体数学第二版第二章习题

Posted 2020-11-20 jianglangcaijin

16 $x^{underline{n}}(x-n)^{underline{m}}=x^{underline{m}}(x-m)^{underline{n}}=x^{underline{n+m}}$

17 当$m>0$时，有$x^{overline{m}}=x(x+1)(x+2)..(x+m-2)(x+m-1)$

当$m=0$时，有$x^{overline{0}}=1$

当$m<0$时，有$x^{overline{m}}=frac{1}{(x-1)(x-2)...(x-(|m|-1))(x-|m|)}$

对于第一个式子，$m=0$时显然都是１．

（１）当$m>0$时，

$(-1)^{m}(-x)^{underline{m}}=(-1)^{m}(-x)(-x-1)(-x-2)...(-x-(m-1))=x(x+1)(x+2)...(x+m-1)=x^{overline{m}}$

$(x+m-1)^{underline{m}}=(x+m-1)(x+m-2)...(x+1)x=x^{overline{m}}$

$frac{1}{(x-1)^{underline{-m}}}=(x-1+1)(x-1+2)...(x-1+m)=x^{overline{m}}$

（２）当$m<0$时，不妨令$m=-m$，

$(-1)^{-m}(-x)^{underline{-m}}=frac{1}{(-1)^{m}}*frac{1}{(-x+1)(-x+2)...(-x+m)}$

$=frac{1}{(x-1)(x-2)(x-3)..(x-m)}=x^{overline{-m}}$

$(x-m-1)^{underline{-m}}=frac{1}{(x-m-1+1)(x-m-1+2)...(x-m-1+m)}=x^{overline{-m}}$

$frac{1}{(x-1)^{underline{m}}}=frac{1}{(x-1)(x-1-1)...(x-1-(m-1))}=x^{overline{-m}}$

第二个式子类似。

18 令$p$表示$sum_{k in K}a_{k}$绝对收敛； $q$表示存在有界常数$B$使得任意有限子集$F in K$有$sum_{k in F}|a_{k}| leq B$