离散数学：每条边的权重均不相同的带权图有唯一最小生成树

Posted 2020-11-19 kakagoult

假设存在两个最小生成树T，T‘，其边按权重升序排列分别为{e1, e2, ..., en}和{e1‘, e2‘, ..., en‘}。

那么存在一个最小的k使得weight(ek)!=weight(ek‘)。（也即e1=e1‘, e2=e2‘, ... ek-1=ek-1‘）

此时T‘中没有ek。不妨设w(ek)<w(ek‘)，则T‘+ek里必然会有一个环，而且这个环有除了{e1‘, e2‘, ..., en‘}之外的边（否则在T中就会有这样的环）。删去任一这样的边，即可得到一个更小的生成树，这与T‘是最小生成树矛盾。

由上，题设得证。