快速幂模板及讲解

Posted 2020-11-19 fjyyc

(这篇其实是我用来练习公式编辑器滴，所以讲的内容略水，大佬们也赏脸看看吧)

定义

快速幂即快速求幂(下文为求a的x次幂模m的结果)，但我们一般只在要求对一个数的幂取模时才使用，因为有可能结果很大，有可能long long都存不下，但是因为我们有:
((ab)\%m=(a\%m)(b\%m))
通过转换，可得：
((a^x)\%m)
(= (a imes a imes a imes … imes a(共x个a相乘))\%m)
(= (a\%m) imes (a imes a imes a imes … imes a(共x-1个a相乘))\%m)
(=((a\%m) imes a\%m) imes (a imes a imes a imes … imes a(共x-2个a相乘))\%m)
[……]
按照这个规律可以一直分解下去，有点类似递归的思想，这样对没一次乘都取模，计算的过程中就不会内存爆炸了

但是只按照上面的方法分解时间复杂度是(O(x)),明显不够优秀（摊手手），快速幂一般那个(x)都是极其变态滴，比如x都是(10^8)级别的，或者有时候还要求很多次的快速幂，这个复杂度明显凉了，但是我们正统的快速幂算法只要(O(log(x)))的时间复杂度，这样就算x真的取(10^8)也才(O(27))是不是贼快，接下来我就来介绍一下怎么实现

思路

先来说说递归的思路：

int modpow(int a,int x,int mod){……}
表示求a的x次幂,结果对mod取这个算法的核心就是用平方的方法来省事
如果x为偶数，设(x=2 imes k)，
则 (a^x=a^{2k}=(a^k)^2)
然后递归调用modpow(a,x/2,mod)就可以得到(a^k)，
定义一个新变量（比如tmp）把这个结果存储起来
然后tmp=(tmp imes tmp)%mod;
此时的tmp就是(a^{2k})即(a^x)
如果x为奇数，设(x=2 imes k+1)，
则 (a^x=a^{2k+1}=(a^k)^2 imes a)
(a^{2k})还是要求的，所以上面的步骤还是要做(因为是整除，所以x/2在这里于是等于k)
所以可以在上面的步骤做完后判断一下
if(x%2==1)//即x为奇数
tmp=(tmp*a)%mod;
特别的，如果x为0，立刻返回1（这个肯定没毛病吧）
于是我们的快速幂递归版就闪亮登场了：

int modpow(int a,int x,int mod)//求a的x次幂的递归法,结果对mod取模
{
  if(x==0)
    return 1;
  int tmp=modpow(a,x/2,mod); 
  tmp=(tmp*tmp)%mod;//这里tmp就已经是a的2k次幂
  if(x%2==1)//如果x是奇数
    tmp=(tmp*a)%mod;
  return tmp;
}

然后是非递归思路：

这个方法比较玄学，可以参考一下（我还是比较喜欢递归法）
核心思路是这样的，我们把x转换为二进制，答案初值赋为1，然后如果从右往左数第k位是1，就把答案乘上(a^{k^2})，同时在枚举二进制下的x的位数时可以顺便把(a^{k^2})搞了，可以用一个while实现以上步骤，复杂度同样是(O(log(x)))（是不是听不懂，没关系看看代码吧）：

int poww(int a,int x,int mod){//求a的x次幂的非递归法,结果对mod取模
  int ans=1,base=a;
  while(x>0){
    if(x%2==1)//如果当前这位为1
      ans=(ans*base)%mod;
    base=(base*base)%mod;//这里处理的是a的2k次幂
    x/=2;//这样下一次处理的就是x在二进制下的下一位
  }
  return ans;
}

OK这篇模板讲解就到这咯，一般不会有题目会要求直接求快速幂，可能会换个马甲，也有时候会是一道综合的题目里一个小部分，反正就是不用当心求a的x次方时会超时或超内存，快速幂很优秀