最大子序列和（单调队列算法）

Posted 2020-11-19 xxjnoi

题目大意：

给定一个长度为N的序列，请你求出它最大长度不超过M的最大子序列的和（其中 N,M<=3*10^5）

分析：

一般对于这样的题目，我们最现实想到的就是前缀和，通过枚举序列可以得到答案，但这样的时间复杂度显然是不乐观的（TLE）

所以我们可以通过队列来优化  （这个算法我们称之为单调队列算法）

我们先枚举子序列的有端点 i 

此时问题转变为寻找一个 j 最为子序列的左端点 （i-m <= j <= i-1），使得是S[ j ] 最小 （S数组表示前缀和）

这时我们不妨再设一个 k （ k < j < i ）并且S[ k ] <  S[ j ]，那么对于所有i之后的子序列右端点 k 都不会成为最优的选择。因为 S[ j ] < S[ k ]，并且 j > k ，j 更容易满足子序列长度小于 m 这一条件并且S[ i ] - S[ j ]得到的子序列和也更大，故当 j 出现后 k 就是一个无用的选择，在之后的计算的可以将其忽略

上述比较告诉我们，成为最优的选择的集合的一定是一个下标递增，其前缀和也递增的序列 

我们便可以用一个队列来实现这个过程（队列中保存的就是可供选择的子序列左端点）

1，判断队首的决策与 i 的距离是否不超过m

2，此时队首的决策就是子序列右端点为 i 的最优选择

3，不断删除队尾的决策直至队尾对应的前缀和小于 i 的前缀和，再把 i 做为一个新的决策入队

代码如下：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
#define N 300005
int a[N];
int sum[N];
int q[N];
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    int l=1,r=1;
    int ans=0;
    q[1]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(l<=r&&q[l]<i-m)l++; //第一步
        ans=max(ans,sum[i]-sum[q[l]]); //第二步
        while(l<=r&&sum[q[r]]>=sum[i])r--; //第三步
        q[++r]=i;
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}