loj2541 「PKUWC2018」猎人杀
Posted serene-shixinyi
tags:
篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了loj2541 「PKUWC2018」猎人杀相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
自己是有多菜啊,10天前做的题,当时还是看了题解,还让NicoDafaGood同学给我讲了一下。
而我现在忘得一干二净,一点都想不起来了……
主要是当时听懂了就打了,没有总结啊。
我们发现,我们设集合$A$的$w$之和是$S_A$
那么一个集合$A$在1之后死的概率是$frac{w_1}{S_A+w_1}$。
为什么呢。
虽然每次选下一个会死的人,是从没死的人中选,但是实际上,也可以是所有人中选,如果选到了死了的人就继续选。
记得很久以前谁讲过,其实这道题,换一种说法是,
一个序列,有$w_i$个$i$,把这一共$sum w$个数随机排列,第$i$个人死的时候是$i$序列里第一次出现的位置。
问第一个人最后死的概率。
或许有点抽象,我们换成数学方式来说:
设$P_i$是下一个死的是第$i$个人的概率
那么$P_i=frac{w_i}{sum w-S_D}$,其中$D$是死了的人的集合。
令$A=sum w,B=S_D$,
把式子变换一下,我们可以得到$P_i=frac{B}{A} P_i + frac{w_i}{A}$,
就是说有$frac{B}{A}$的可能,我们这次做完之后$i$还没死,相当于我们攻击到了已死的人。
那么集合$A$都在1之后死的概率这样算:
egin{aligned}
P &= sumlimits_{i = 0}^{infty} (1 - frac{S_A + w_1}{sum w})^{i} frac{w_1}{sum w} \
&= frac{w_1}{sum w}sumlimits_{i = 0}^{infty} (1 - frac{S_A + w_1}{sum w})^{i} \
&= frac{w_1}{sum w} imes frac{1}{1 - 1 + frac{S_A + w_1}{sum w}} \
&= frac{w_1}{S_A + w_1}
end{aligned}
接下来我们就需要枚举在1死之后的人的集合的$S$,就是$w$和,然后容斥。
用分治NTT就可以了。
诶,差点又忘了总结。
主要是,算1是最后死的概率不好算,但是算一个人是在一个集合中最先死的概率好算。
很容易想到容斥一下,然后做背包这玩意可以用NTT,维护一个堆,每次用最小的那两个合并
然后我们发现$sum w$很小,也非常让人舒服。
//Serene #include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<cstdio> #include<cmath> #include<vector> #include<set> using namespace std; #define ll long long #define db double #define For(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i) #define Rep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i) const int maxn=1e6+7; const ll mod=998244353,PR=3; ll n,w[maxn],A[maxn],B[maxn],len,l; char cc;ll ff; template<typename T>void read(T& aa) { aa=0;cc=getchar();ff=1; while((cc<‘0‘||cc>‘9‘)&&cc!=‘-‘) cc=getchar(); if(cc==‘-‘) ff=-1,cc=getchar(); while(cc>=‘0‘&&cc<=‘9‘) aa=aa*10+cc-‘0‘,cc=getchar(); aa*=ff; } vector<ll> o; struct Node{ int len; vector<ll> P; Node(int len,vector<ll> P):len(len),P(P){} bool operator < (const Node& b) const{return len<b.len;} }; multiset<Node> G; multiset<Node>::iterator it1,it2; ll qp(ll x,ll k) { ll rs=1; while(k) { if(k&1) rs=rs*x%mod; k>>=1; x=x*x%mod; } return rs; } ll finv(ll x) {return qp(x,mod-2);} ll qp1(ll x,ll k) { if(k<0) return qp(finv(x),-k); return qp(x,k); } void Rader(ll F[],ll len) { for(int i=1,j=len/2,k;i<len-1;++i) { if(i<j) swap(F[i],F[j]); k=len>>1; while(j>=k) {j-=k;k>>=1;} if(j<k) j+=k; } } void FFT(ll F[],ll len,ll on) { Rader(F,len); for(int h=2;h<=len;h<<=1) { ll wn=qp1(PR,(mod-1)*on/h); for(int j=0;j<len;j+=h) { ll w=1; for(int i=j;i<j+h/2;++i) { ll u=F[i],v=F[i+h/2]*w%mod; F[i]=(u+v)%mod; F[i+h/2]=(u-v+mod)%mod; w=w*wn%mod; } } } ll x=finv(len); if(on==-1) For(i,0,len) F[i]=F[i]*x%mod; } int main() { read(n); For(i,1,n) read(w[i]),w[0]+=w[i]; For(i,2,n) { o.clear(); o.push_back(1); For(j,1,w[i]-1) o.push_back(0); o.push_back(mod-1); G.insert(Node(w[i],o)); } while(G.size()>1) { it1=it2=G.begin(); ++it2; l=it1->len+it2->len; for(len=1;len<=l;len<<=1); For(i,0,it1->len) A[i]=it1->P[i]; For(i,0,it2->len) B[i]=it2->P[i]; G.erase(G.begin()); G.erase(G.begin()); FFT(A,len,1); FFT(B,len,1); For(i,0,len) A[i]=A[i]*B[i]%mod; FFT(A,len,-1); o.clear(); o.reserve(l+1); o.assign(&A[0],&A[l+1]); G.insert(Node(l,o)); For(i,0,len) A[i]=B[i]=0; } ll ans=0; it1=G.begin(); For(i,0,w[0]-w[1]) ans+=w[1]*finv(i+w[1])%mod*it1->P[i]%mod; printf("%lld ",ans%mod); return 0; }
以上是关于loj2541 「PKUWC2018」猎人杀的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章