Codeforces663E. Binary Table

Posted 2020-11-19 blue233333

$n leq 20,m leq 100000$的01矩阵，可整行整列01翻转，问最少剩几个1.

一个暴力的做法是枚举$2^n$种行翻转然后$m$列扫一遍。但其实在行翻转情况确定的情况下我们只关心两个东西：某一列在行翻转后剩几个1，以及有几个这样的列。$f(i,j)$--在行翻转$j$的情况下，有$i$个1的有多少列。其实就是与$j$有$i$个位不同的有多少列。可以枚举每一个位置$p$，那么这一位上与$j$不同的状态$f(i-1,j xor 2^p)$可以加过来，但要挑去其中$p$已经算过一次的情况，有$f(i-2,j)$这么多种，又要从$f(i-2,j)$中挑去那些$p$这一位算过一次的情况，$f(i-3,j xor 2^p)$，如此循环。但这样枚举完每个位置之后，每种好的情况其实算了$i$次，所以$i imes f(i,j)=sum_{p=0}^{n-1} sum_{t=1}^{i}(-1)^{t-1}f(i-t,j xor (2^p imes (t mod 2)))$。

这样是$2^nn^3$的，但可以发现$sum_{p=0}^{n-1}sum_{t=3}^{i}(-1)^{t-1}f(i-t,j xor (2^p imes (t mod 2)))=(i-2) imes f(i-2,j)$，所以整理一下，$i imes f(i,j)=sum_{p=0}^{n-1}f(i-1,j xor 2^p)+(i-2-n)f(i-2,j)$。少一个$n$。

要再少一个得用FWT。不会。

 1 //#include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 //#include<math.h>
 5 //#include<set>
 6 //#include<queue>
 7 //#include<bitset>
 8 //#include<vector>
 9 #include<algorithm>
10 #include<stdlib.h>
11 using namespace std;
12 
13 #define LL long long
14 int qread()
15 {
16     char c; int s=0,f=1; while ((c=getchar())<‘0‘ || c>‘9‘) (c==‘-‘) && (f=-1);
17     do s=s*10+c-‘0‘; while ((c=getchar())>=‘0‘ && c<=‘9‘); return s*f;
18 }
19 
20 //Pay attention to ‘-‘ , LL and double of qread!!!!
21 
22 int K,n;
23 #define maxn 1100011
24 int b[maxn],f[22][maxn];
25 
26 int main()
27 {
28     K=qread(); n=qread();
29     {
30         char c;
31         for (int i=0;i<K;i++)
32             for (int j=1;j<=n;j++)
33             {
34                 while ((c=getchar())!=‘0‘ && c!=‘1‘);
35                 b[j]|=(c-‘0‘)<<i;
36             }
37         for (int i=1;i<=n;i++) f[0][b[i]]++;
38     }
39     int T=1<<K,ans=0x3f3f3f3f;
40     for (int i=1;i<=K;i++)
41     {
42         for (int j=0;j<T;j++)
43         {
44             if (i>1) f[i][j]=(i-2-K)*f[i-2][j];
45             for (int k=0;k<K;k++) f[i][j]+=f[i-1][j^(1<<k)];
46             f[i][j]/=i;
47         }
48     }
49     for (int i=0;i<T;i++)
50     {
51         int tmp=0;
52         for (int j=0;j<=K;j++) tmp+=min(j,K-j)*f[j][i];
53         ans=min(ans,tmp);
54     }
55     printf("%d
",ans);
56     return 0;
57 }

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