2.1 与球体的交点 -代数解

Posted 2020-11-19 tooyoungtsukasa

　  R_origin?R_o?[X_o  Y_o  Z_o]

　　R_direction?R_d?[X_d  Y_d  Z_d]

当x_d²+y_d²+z_d²=1 (i.e normalized)

 他定义了一个光线:

　　即一个线上的点集　　　　　　R(t)=R_o+R_d*t   where t>0  (A1)

　　t<0的点全在光线源点后。至于t=0为什么不被当做光线上的点，这个问题将会放到‘精度问题‘的章节来解释。注意，虽然光线方向不需要进行标准化，但是还是建议使用标准化，否通,t将用方向向量的长度来表示距离。在相交测试前，对光线方向向量进行一次标准化。，以确保t将等于从光线原点到世界坐标系的距离。

　　A1是光线方程的参数或者说是显式形式。这意味着光线上所有的点都可以通过改变t的值直接生成。

　　球体定义：

　　　　 球心?S_c?[X_c  Y_c  Z_c]

　　　　 半径?S_r

　　　　 表面集合?[X_s  Y_s  Z_s]　　where  (X_s-X_c)²+(Y_s-Y_c)²+(Z_s-Z_c)²=S_r²   (A2)

　　曲面上的点不能直接生成，每个点都应该用隐式方程进行检测，如果满足条件，才是在曲面上的点。

　　A1表示为方程组:

　　　　　X=X_o+X_d*t

　　　　　Y=Y_o+Y_d*t

　　　　　Z=Z_o+Z_d*t

　　将球面[X_s  Y_s  Z_s]带入A1方程组：

　　　　 (X_o+X_d*t-X_c)²+(Y_o+Y_d*t-Y_c)²+(Z_o+Z_d*t-Z_c)²=S_r² 

　　　　 简化为:

　　　　A*t²+B*t+C=0　　(A5)

　　　　A=X_d²+Y_d²+Z_d²=1

　　　　B=2*(X_d*(X_o-X_c)+Y_d*(Y_o-Y_c)+Z_d*(Z_o-Z_c))

　　　　C=(X_s-X_c)²+(Y_s-Y_c)²+(Z_s-Z_c)^2-S_r² 

　　注意A的系数(coefficient)一直为1，因为光线方向是标准化方向。

　　解A5方程：

　　　　

　　b²-4ac<0，无交点。 【在[11]的5.5节有t0,t1更准确的提纯方式】

　　t中更小的正实根时光线上最近的交点距离，即t*B最短。

　　一旦t求出，则可推导实际的交点：

　　　　

　　=》曲面上的单位法向量可以很简单得出:

　　　　

　　如果光源在球内，那么r_n应该取反，以便它指向光线。

　　总结起来，代数解法步骤为：

　　　　1，计算方程的A,B,C

　　　　2，计算判别式（△）

　　　　3，t₀的计算和比较

　　　　4，也许还有t₁的ca,co

　　　　5，计算交点

　　　　6，计算法线