伪暴力+智商剪枝Codeforces Round #489 (Div. 2) D

Posted 2020-11-19 l-excalibur

失踪人口突然回归……orz。题解还是有必要写的，虽然估计只有自己（？自己也不一定看得懂）看得懂。

 

题目链接：http://codeforces.com/contest/992/problem/D

题目大意：给出n个数字a和一个k，求数列a中的子区间aa满足aa的和乘k等于aa的积。（a<=1e8,n<=2e5,k<=1e5）

这道题没找到官方题解，所以看了一下standing rank1的dalao的代码。 鸣谢 dotorya

第一眼就觉得短，非常短。赛上把我卡得很恶心的1的情况竟然被两行代码解决了……再度%大佬的机智。

暴力解决这道题（枚举所有区间）的时间复杂度是n^2，在看了一眼数据范围后被我放弃了。

先说一下赛上思路过程，前缀和是第一反应，然后考虑前缀积。再一看范围，计算量直接T掉高精度。不过转念一想，k*sum_aa的最大值也就2e18，好像是在暗示着什么。用和来寻找积而不用积来寻找和。在草稿本上演算了一下，发现积的增长速度十分快，一旦在某个瞬间大于sum_aa*k了之后就不会再小于了。当然是在没有1的情况。想了半天不知道怎么破解这个1，最终GG退赛。

看了dalao的代码之后发现dalao机智地把1折叠了起来……既然乘1等于不乘那我们就不乘，跳过就行了，加1的影响用前缀和搞定。然后……就是暴力，对，暴力（Formiko的智商真是碾压我呀。）

%%%，我初步估计时间复杂度在nlog2e18，因为乘积的增长速度真的十分十分快，log级别的。此处鸣谢Formiko点醒了我。这确实是基本的数学素质，我竟然忘掉了。

中途写完代码的时候发现不能完全忽略1的影响，再次感谢formiko，他的一句“1加着加着就蹦出来一个解”成功帮我AC了这道题，同时%dalao的二分思路。

废话太多我精简地说一下这道题的题解。

首先用前缀和处理数列，把这个数列映射到另一个数列上，类似于链表（但是要保留原下标，方便前缀和以及1的影响）。映射方式就是折叠1，只保留非1的数，也就是对乘积有影响的数，对于固定的左端点，这个区间长度不会超过63，时间复杂度是可以承受的。接下来暴力枚举每个左端点，在映射的数组上跳跃，最多条约63次。中途会有1出现的情况。也就是分右端点是1和右端点不是1两种情况。如果右端点不是1，那么直接在映射数组上验证是否满足条件就行了，如果右端点是1，那么在一段连续1中，由于乘积一直乘的1，值不变，和一直在增加，所以如果出现满足条件的解，只会有一个，而且满足单调性！！那么二分就可以了。总时间复杂度在63*nlogn。

下面放代码：

 

 1 /* by Lstg */
 2 
 3 #include<stdio.h>
 4 #include<iostream>
 5 #define MAXN 200105
 6 #define inf 3000000000000000000
 7 using namespace std;
 8 
 9 int b[MAXN];
10 long long a[MAXN],sum[MAXN];
11 
12 bool _find(int k,int l,int r,long long tmp){
13     
14     if(l>r)return false;
15     int mid;
16     while(l<=r){
17         mid=(l+r)>>1;
18         if(sum[mid]-sum[k]==tmp)return true;
19         if(sum[mid]-sum[k]>tmp)r=mid-1;
20         else l=mid+1;
21     }
22     return false;
23 }    
24     
25 
26 int main(){
27     
28     int n,i,j;
29     long long k,tmp;
30     scanf("%d%I64d",&n,&k);
31     for(i=1;i<=n;i++){
32         scanf("%I64d",&a[i]);
33         sum[i]=sum[i-1]+a[i];
34     }
35     b[i]=i;
36     for(i=n;i>=1;i--){
37         if(a[i]>1)b[i]=i;
38         else b[i]=b[i+1];
39     }
40     
41     long long cnt=0;
42     for(i=1;i<=n;i++){
43         j=b[i];
44         tmp=1ll;
45         if(a[i]==1&&k==1)cnt++;
46         while(j<=n){
47             if(inf/a[j]<tmp)break;
48             tmp*=a[j];
49             if(tmp==k*(sum[j]-sum[i-1]))cnt++;
50             if(tmp%k==0&&_find(i-1,j+1,b[j+1]-1,tmp/k))cnt++;
51             j=b[j+1];
52         }
53     }
54     printf("%I64d",cnt);
55     return 0;
56 }