青蛙跳台阶问题

Posted 2023-02-06 薰衣草

问题一：有一只青蛙，需要跳上100级台阶。青蛙每次可以调一级或者两级台阶。问青蛙有多少种方式可以跳100级台阶。

思路：

逆推    当青蛙站在100级台阶上时，那它跳上100级时有可能是从99级跳一级上来的，也可能是从98级跳两级跳上来的（从98级跳两个一级包括在从99级跳一级情况内，所以不予考虑）；所以f(100) = f(99)+f(98)。而跳上99级就分为从98级跳一级和从97级跳两级，f(99) = f(98)+f(97);跳上98级分为从97级跳一级和从96级跳两级f(98) = f(97)+f(96);.....以此类推..当没有台阶时，有0种方式；当有一级台阶时，有一种方式；当有两级台阶时，有两种方式；这就是它的出口。

从上面的分析可以得出递归公式：f(n) = f(n-1)+f(n-2);   

可以看出就是一个斐波那契数列。

 function fn(n)
        if(n == 0)
            return 0;
        
        else if(n == 1)
            return 1;
        
        else if(n == 2)
            return 2;
        
        else if(n >2)
            return  fn(n-1)+fn(n-2);
        
    

问题二

：有一只青蛙，需要跳上100级台阶。青蛙每次可以跳任意级台阶。问青蛙有多少种方式可以跳100级台阶。
这个问题跟上面的一样，当青蛙站在100级台阶时，它可以从99级跳一级上来，可以从98级跳两级上来，可以从97级跳三级上来....以此类推，最后可以从第一级直接跳100级上来。

f(n) = f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+....+f(1)+1;

f(n-1)=          f(n-2)+f(n-3)+.....+f(1)+1;

两式相减得: f(n) = 2*f(n-1);

    function fn(n)
        var array = [];
        array[0] = 1;
        array[1] = 2;
        for(var i = 2;i < n;i++)
            array[i] = 2*array[i-1];
        
        return array[n-1];