2021 ICPC上海 I.Steadily Growing Steam（dp）

Posted 2023-02-02 lwz_159

题目描述

题目链接

题目大意

给定n张牌，每张牌有ti与一个vi。你至多可选m张牌，将其ti翻倍。在翻倍结束后，从n张牌中找出若干数量的牌，将其分为两组，两组的ti之和相等。求出此时的最大的vi之和。

题目分析

$一个01背包问题的变形$

$状态表示：f[i][j][k]表示从前i张牌中，最多使用j次技能，两组牌的t[i]和之差为k时的s[i]之和最大为多少$

$因为k表示的差，所有k的范围理论上是[-2600,2600]，但是数组下标又不能有负数，因此我们可以让k=k+2600，$$这样k的范围就变为了[0,5200]。问题解决。$

$状态转移：本题中每次转移会有5钟状态$
$1、不选第i张牌：f[i][j][k]=f[i-1][j][k]$

$2、选择第i张牌放入a组，且不使用技能：f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i][j][k-t[i]]+v[i])$

$3、选择第i张牌放入b组，且不使用技能：f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i][j][k+t[i]]+v[i])$

$4、选择第i张牌放入a组，且使用技能：f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i][j-1][k-2\ast t[i]]+v[i])$

$5、选择第i张牌放入b组，且使用技能：f[i][j][k]=max(f[i][j][k],f[i][j-1][k+2\ast t[i]]+v[i])$

$注意：这道题需要开的数组太大，会超出内存限制，因此我们要对其进行滚动数组优化$

代码如下

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <set>
#include <map>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <iomanip>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define PII pair<int,int>
#define PLL pair<LL,LL>
#define PDD pair<double,double>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int N=105,M=6005,INF=998244353;
int t[N],v[N];
LL f[2][N][M];			//因为每次转移只会用到f[i-1][][]和f[i][][]，因此数组开f[2]即可
int main()

	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>t[i];
	for(int i=0;i<=m;i++)				//初始化（除了f[i][j][2600]，其余点都赋值为负无穷）
		for(int j=0;j<=5200;j++)
			f[0][i][j]=-1e18*(j!=2600);
	
	for(int i=1;i<=n;i++) 					//进行状态转移
		for(int j=0;j<=m;j++)
			for(int k=0;k<=5200;k++)
			
				int x=i&1;					//i&1为当前状态，i&1^1为上一轮的状态
				f[x][j][k]=f[x^1][j][k];	//5钟状态转移（见分析）
				if(k-t[i]>=0) f[x][j][k]=max(f[x][j][k],f[x^1][j][k-t[i]]+v[i]);
				if(k+t[i]<=5200) f[x][j][k]=max(f[x][j][k],f[x^1][j][k+t[i]]+v[i]);
				if(j)
				
					if(k-2*t[i]>=0)
						f[x][j][k]=max(f[x][j][k],f[x^1][j-1][k-2*t[i]]+v[i]);
					if(k+2*t[i]<=5200)
						f[x][j][k]=max(f[x][j][k],f[x^1][j-1][k+2*t[i]]+v[i]);
				
			
	cout<<f[n&1][m][2600]<<endl;		//输出答案
	return 0;