一阶逻辑基本概念

Posted 2023-01-25 松子茶

主要内容

1. 个体词 ①个体常项 ②个体变项 ③个体域 ④全总个体域

2. 谓词 ①谓词常项 ②谓词变项 ③n(n≥1)元谓词 ④特性谓词

3. 量词 ①全称量词 ②存在量词
4. 一阶逻辑中命题符号化
5. 一阶逻辑公式 ①原子公式 ②合式公式（或公式） ③闭式

6. 解释

7. 一阶逻辑公式的分类 ①逻辑有效式（或永真式）②矛盾式（或永假式） ③可满足式

学习要求

1. 要求准确地将给出的命题符号化：
①当给定个体域时，在给定个体域内将命题符号化
②当没给定个体域时，应在全总个体域内符号化
③在符号化时，当引入特性时，注意全称量词与蕴含联结词的搭配，存在量词与合取联结词的搭配。

2. 深刻理解逻辑有效式、矛盾式、可满足式的概念。

3. 记住闭式的性质：在任何解释下均为命题。

4. 对给定的解释，会判别公式的真值或不能确定真值。

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在命题逻辑中，命题是最基本的单位，对简单命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数量关系。因而命题逻辑具有局限性，甚至无法判断一些简单而常见的推理。考虑下面的推理:

    凡偶数都能被2整除；
    6是偶数。
    所以，6能被2整除。
这个推理是我们公认的数学推理中的真命题，但是在命题逻辑中却无法判断它的正确性。因为在命题逻辑中只能将推理中出现的三个简单命题依次符号化为p，q，r，将推理的形式结构符号化为
        (p∧q)→r

由于上式不是重言式，所以不能由它判断推理的正确性。为了克服命题逻辑的局限性，就应该将简单命题再细分，分析出个体词，谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的内在联系和数量关系，这就是一阶逻辑所研究的内容。一阶逻辑也称一阶谓词逻辑或谓词逻辑。

一阶逻辑的符号化

下面直接仿照1.1来对谓词逻辑进行符号化。
个体词，谓词和量词是一阶逻辑命题符号化的三个基本要素。下面讨论这三个要素。

个体词

个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。例如，小王，小李，中国，，3等都可以作为个体词。将表示具体或特定的客体的个体词称作个体常项，一般用小写英文字母a，b，c…表示；而将表示抽象或泛指的个体词称为个体变项，常用x，y，z…表示。称个体变项的取值范围为个体域(或称论域)。个体域可以是有穷集合，例如，1，2，3，a，b，c，d，a，b，c，…，x，y，z，…；也可以是无穷集合，例如，自然数集合N=0，1，2，…，实数集合R=x|x是实数…。有一个特殊的个体域，它是由宇宙间一切事物组成的，称它为全总个体域。本书在论述或推理中如没有指明所采用的个体域，都是使用全总个体域。

谓词

谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。考虑下面四个命题(或命题公式):
    (1)是无理数。
    (2)x是有理数。
    (3)小王与小李同岁。
    (4)x与y具有关系L.

    在(1)中，是个体常项，“…是无理数”是谓词，记为F，并用F()表示(1)中命题。在(2)中，x是个体变项，“…是有理数”是谓词，记为G，用G(x)表示(2)中命题。在(3)中，小王，小李都是个体常项，“…与…同岁”是谓词，记为H，则(3)中命题符号化形式为H(a,b)，其中，a:小王，b:小李。在(4)中，x，y为两个个体变项，谓词为L，(4)的符号化形式为L(x,y).

    同个体词一样，谓词也有常项和变项之分。表示具体性质或关系的谓词称为谓词常项，表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词称为谓词变项。无论是谓词常项或变项都用大写英文字母F，G，H，…表示，可根据上下文区分。在上面四个命题中，(1)，(2)，(3)中谓词F，G，H是常项，而(4)中谓词L是变项。一般的，用F(a)表示个体常项a具有性质F(F是谓词常项或谓词变项)，用F(x)表示个体变项x具有性质F.而用F(a，b)表示个体常项a，b具有关系F，用F(x,y)表示个体变项x，y具有关系F.更一般的，用P(x₁,x₂,…,x_n)表示含n(n≥1)个命题变项的n元谓词。n=1时，P(x₁)表示x₁具有性质P；n≥2时，P(x₁,x₂,…,x_n)表示x₁,x₂,…,x_n具有关系P.实质上，n元谓词P(x₁,x₂,…,x_n)可以看成以个体域为定义域，以0,1为值域的n元函数或关系。它不是命题。要想使它成为命题，必须用谓词常项取代P，用个体常项a₁,a₂,…,a_n取代x₁,x₂,…,x_n，得P(a₁,a₂,…,a_n)是命题。

    有时候将不带个体变项的谓词称为0元谓词，例如，F(a)，G(a,b)，P(a₁,a₂,…,a_n)等都是0元谓词。当F，G，P为谓词常项时，0元谓词为命题。这样一来，命题逻辑中的命题均可以表示成0元谓词，因而可以将命题看成特殊的谓词。

例4.1 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化，并讨论它们的真值:
    (1)只有2是素数，4才是素数。
    (2)如果5大于4，则4大于6.

    解 (1)设一元谓词F(x):x是素数，a:2，b:4。(1)中命题符号化为0元谓词的蕴涵式:
            F(b)→F(a)
由于此蕴涵前件为假，所以(1)中命题为真。

    (2) 设二元谓词G(x，y):x大于y，a:4，b:5，c:6。G(b,a)，G(a,c)是两个0元谓词，把(2)中命题符号化为
            G(b,a)→G(a,c)
由于G(b,a)为真，而G(a,c)为假，所以(2)中命题为假。

量词

有了个体词和谓词之后，有些命题还是不能准确的符号化，原因是还缺少表示个体常项或变项之间数量关系的词。称表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。量词可分两种:

(1) 全称量词

    日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，将它们符号化为“”。并用x，y等表示个体域里的所有个体，而用xF(x)，yG(y)等分别表示个体域里所有个体都有性质F和都有性质G。

    (2) 存在量词
    日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，将它们都符号化为“ ”。并用 x， y等表示个体域里有的个体，而用 xF(x)， yG(y)等分别表示个体域里存在个体具有性质F和存在个体具有性质G等。

一阶逻辑命题符号化

例4.2 在个体域分别限制为(a)和(b)条件时，将下面两个命题符号化:
    (1) 凡人都呼吸。
    (2) 有的人用左手写字。

其中:(a)个体域D₁为人类集合；
     (b)个体域D₂为全总个体域。

    解 (a)令F(x):x呼吸。G(x):x用左手写字。
    (1) 在D₁中除了人外，再无别的东西，因而“凡人都呼吸”应符号化为
          xF(x)                (4.1)
    (2) 在D₁中的有些个体(人)用左手写字，因而“有的人用左手写字”符号化为
          xG(x)                (4.2)

    (b) D₂中除了有人外，还有万物，因而在(1)，(2)符号化时，必须考虑将人分离出来。令M(x):x是人。在D₂中，(1)，(2)可以分别重述如下:
    (1)对于宇宙间一切事物而言，如果事物是人，则他要呼吸。
    (2)在宇宙间存在着用左手写字的人。
于是(1)，(2)的符号化形式分别为
        x(M(x)→F(x))         (4.3)
和
        x(M(x)∧G(x))         (4.4)
其中F(x)与G(x)的含义同(a)中。

    由例4.2可知，命题(1)，(2)在不同的个体域D₁和D₂中符号化的形式不一样。主要区别在于，在使用个体域D₂时，要将人与其他事物区分开来。为此引进了谓词M(x)，像这样的谓词称为特性谓词。在命题符号化时一定要正确使用特性谓词。

    问: (a)能否将(1)符号化为x(M(x)∧F(x))？
         (b)能否将(2)符号化为x(M(x)→G(x))？

 例4.3 在个体域限制为(a)和(b)条件时，将下列命题符号化:
    (1) 对于任意的x，均有x²-3x+2=(x-1)(x-2).
    (2) 存在x，使得x+5=3.
其中: (a)个体域D₁=N(N为自然数集合)
      (b)个体域D₂=R(R为实数集合)

    解 (a)令F(x): x²-3x+2=(x-1)(x-2)，G(x): x+5=3。命题(1)的符号化形式为
              xF(x)               (4.7)
命题(2)的符号化形式为
              xG(x)               (4.8)
显然(1)为真命题；而(2)为假命题，因为N不含负数。

    (b) 在D₂内，(1)和(2)的符号化形式还是(4.7)式和(4.8)式，(1)依然是真命题，而此时(2)也是真命题。

    从例4.2和例4.3可以看出以下两点:
    1. 在不同个体域内，同一个命题的符号化形式可能不同，也可能相同。
    2. 同一个命题，在不同个体域中的真值也可能不同。

一阶逻辑公式及解释

下面构造推理系统

一阶语言

一阶语言用来定义一阶谓词逻辑形式系统中的形式语言，即定义符号集与公式集。下一章将定义推理规则。

 定义4.1 一阶语言的字母表定义如下:
    (1)个体常项:a,b,c,…,a_i,b_i,，c_i，…，i≥1
    (2)个体变项:x,y,z,…，x_i,y_i,z_i，…，i≥1
    (3)函数符号:f,g,h,…,f_i,g_i,h_i，…，i≥1
    (4)谓词符号:F,G,H,…,F_i,G_i,H_i，…，i≥1
    (5)量词符号:，
    (6)联结词符号:┐,∧,∨,→,
    (7)括号与逗号:(,),，
上节(4.1)～(4.21)所用符号均为字母表中的符号。

定义4.2 的项的定义如下:
    (1)个体常项和个体变项是项。
    (2)若f(x₁,x₂,…,x_n)是任意的n元函数，t₁,t₂,…,t_n是任意的n个项，则f(t₁,t₂,…,t_n)是项。
    (3)所有的项都是有限次使用(1)，(2)得到的。

定义4.3 设R(x₁,x_2,…,x_n)是的任意n元谓词， t₁,t₂,…,t_n是的任意的n个项，则称R(t₁,t₂,…,t_n)是的原子公式。

    例4.5中的1元谓词F(x)，G(x)，2元谓词H(x,y)，L(x,y)等都是原子公式。

定义4.4 的合式公式定义如下:
    (1)原子公式是合式公式。
    (2)若A是合式公式，则(┐A)也是合式公式。
    (3)若A，B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，(A→B)，(AB)也是合式公式。
    (4)若A是合式公式，则xA，xA也是合式公式。
    (5)只有有限次的应用(1)～(4)构成的符号串才是合式公式。
    的合式公式也称为谓词公式，简称公式。

    在定义4.4中出现的字母A，B是代表任意公式的元语言符号。为方便起见，公式(┐A)，(A∧B)，…中的最外层括号可以省去，使其变成┐A，A∧B，…。(4.1)～(4.21)都是中的公式。

    因为本书只引进一种一阶语言，下文的讨论都是在中，因而一般不再提及.

自由与约束

下面讨论一阶公式的一些性质。

定义4.5 在公式xA和xA中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域。在x和x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现。A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现的。

例4.6 指出下列各公式中的指导变元，各量词的辖域，自由出现以及约束出现的个体变项:
    (1)x(F(x,y)→G(x,z))                     (4.22)
    (2)x(F(x)→G(y))→y(H(x)∧L(x,y,z))    (4.23)

    解 (1)x是指导变元。量词的辖域A=(F(x,y)→G(x,z))，在A中，x是约束出现的。而且约束出现两次，y和z均为自由出现的，而且各自由出现一次。

    (2)公式中含有两个量词，前件上的量词的指导变元为x，的辖域A=(F(x)→G(y))，其中x是约束出现的，y是自由出现的。后件中的量词的指导变元为y，的辖域为(H(x)∧L(x,y,z))，其中y是约束出现的，x，z均为自由出现的。在整个公式中，x约束出现一次，自由出现2次，y自由出现一次，约束出现一次，z只自由出现一次。

    为方便起见，本书用A(x₁,x₂,…,x_n)表示含x₁,x₂,…,x_n自由出现的公式，并用Δ表示任意的量词(或).则Δx₁A(x₁,x₂,…,x_n)是含有x₂,x₃,…,x_n自由出现的公式，可记为A₁(x₂,x₃,…,x_n)。类似的，Δx₂Δx₁A(x₁,x₂,…,x_n)可记为A₂(x₃,x₄,…,x_n)，Δx_n-1Δx_n-2…Δx₁A(x₁,x₂,…,x_n)中只含有x_n是自由出现的个体变项，可以记为A_n(x_n)，而Δx_n…Δx₁A(x₁,x₂,…,x_n)已经没有自由出现的个体变项了。

    可将例4.6(1)中的公式简记为A(y,z)，这表明(1)中公式含有自由出现的个体变项y，z。而 yA(y,z)中只含有z为自由出现的公式， z yA(y,z)中已经没有自由出现的个体变项了，此时的公式为
           z y x(F(x,y)→G(x,y,z))    (4.24)

闭公式

定义4.6 设A是任意的公式，若A中不含有自由出现的个体变项，则称A为封闭的公式，简称闭式。

    易知(4.1)～(4.21)以及(4.24)都是闭式，而(4.22)和(4.23)则不是闭式。要想使含有r(r≥1)个自由出现个体变项的公式变成闭式，至少要加上r个量词，将公式(4.22)加上两个量词就变成了闭式(4.24)。类似的，也可以用加量词的方法将(4.23)变成闭式。

 例4.7 将下列两个公式中的变项指定成常项使其成为命题:
    (1)x(F(x)→G(x))                                  (4.25)
    (2)xy(F(x)∧F(y)∧G(x,y)→H(f(x,y),g(x,y)))     (4.26)

    解 (1)指定个体变项的变化范围，并且指定谓词F，G的含义，下面给出两种指定法:
    (a)令个体域D₁为全总个体域，F(x)为x是人，G(x)为x是黄种人，则(4.25)表达的命题为“所有人都是黄种人”，这是假命题。
    (b)令个体域D₂为实数集合R，F(x)为x是自然数，G(x)为x是整数，则(4.25)表达的命题为“自然数都是整数”，这是真命题。
我们还可以给出其他各种不同指定，使(4.25)表达各种不同形式的命题。

    (2)(4.26)中含有两个2元函数变项，两个1元谓词变项，两个2元谓词变项。指定个体域为全总个体域，F(x)为x是实数，G(x,y)为x≠y，H(x,y)为x>y，f(x,y)=x²+y²，g(x,y)=2xy，则(4.26)表达的命题为“对于任意的x，y，若x与y都是实数，且x≠y，则x²+y²>2xy”，这是真命题。如果H(x,y)改为x<y，则所得命题就为假命题了。

    在例4.7中所谈的对各种变项的指定也可以称为对它们的解释。在本例中是给出公式后再对它们进行解释，也可以先给出解释，再用这个解释去解释各种公式。由以上的讨论不难看出，一个解释不外乎指定个体域、个体域中一些特定的元素、特定的函数和谓词等部分。

一阶公式的解释

定义4.7 的解释I由下面4部分组成:
    (a)非空个体域D_I
    (b)D_I中一些特定元素的集合
    (c)D_I上特定函数集合|i,n≥1
    (d)D_I上特定谓词的集合|i,n≥1

下面对解释I做几点说明:
    1. 在解释的定义中引进了几个元语言符号，如,,。
    2. 被解释的公式A中的个体变项均取值于D_I。
    3. 若A中含有个体常项a_i，就解释成。
    4. 为第i个n元函数。例如，i=1，n=2时，表示第一个二元函数，它出现在解释中，可能是(x,y)=x²+y²,(x,y)=2xy等，一旦公式中出现f₁(x,y)就解释成(x,y)，出现g₁(x,y)就解释成(x,y)=2xy。
    5. 为第i个n元谓词，如i=2，n=3时，表示第2个3元谓词，它可能以(x,y,z)的形式出现在解释中，公式A若出现F₂(x,y,z)就解释成(x,y,z)。
    6. 被解释的公式不一定全部包含解释中的四部分。

例4.8 给定解释I如下:

    (a)个体域D=N(N为自然数集合)
    (b)=0
    (c)(x,y)=x+y,(x,y)=xy
    (d)(x,y)为x=y
    在I下，下列哪些公式为真?哪些为假?哪些的真值还不能确定?
    (1)F(f(x,y),g(x,y))
    (2)F(f(x,a),y)→F(g(x,y),z)
    (3)┐F(g(x,y),g(y，z))
    (4)xF(g(x,y),z)
    (5)xF(g(x,a),x)→F(x,y)
    (6)xF(g(x,a),x)
    (7)xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x))
    (8)xyzF(f(x,y),z)

    (9)xF(f(x,x),g(x,x))

    解 (1)在I下，(1)中公式被解释成“x+y=x·y”，这不是命题。
    (2) 公式被解释成“(x+0=y)→(x·y=z)”，这也不是命题。
    (3) 公式被解释成“x·y≠y·z”，同样不是命题。
    (4) 公式被解释成“x(x·y≠y·z)”，不是命题。

    (5) 公式被解释成“x(x·0=x)→(x=y)”，由于蕴涵式的前件为假，所以被解释的公式为真。
    (6) 公式被解释成“x(x·0=x)”，为假命题。

    (7) 公式被解释成“xy((x+0=y)→(y+0=x))”，为真命题。
    (8) 公式被解释成“xyz(x+y=z)”，这也为真命题。
    (9) 公式被解释成“x(x+x=x·x)”，为真命题。

    从例4.8可以看出，闭式在给定的解释中都变成了命题(见公式(6)～(8))，其实闭式在任何解释下都变成命题。

定理4.1

封闭的公式在任何解释下都变成命题。

    本定理的证明略。

一阶公式的分类

定义4.8 设A为一个公式，若A在任何解释下均为真，则称A为永真式(或称逻辑有效式)。若A在任何解释下均为假，则称A为矛盾式(或永假式)。若至少存在一个解释使A为真，则称A为可满足式。

    从定义可知，永真式一定是可满足式，但可满足式不一定是永真式。在例4.8中，公式(5)，(7)，(8)，(9)都是可满足的，因为它们已经存在使其成真的解释，而(6)绝不是永真式，因为它已经存在使其成假的解释。

定义4.9 设A₀是含有命题变项p₁,p₂,…,p_n的命题公式，A₁,A₂,…,A_n是n个谓词公式，用A_i(1≤i≤n)处处代替A₀中的p_i，所得公式A称为A₀的代换实例。

    例如，F(x)→G(x)，xF(x)→yG(y)等都是p→q的代换实例，而x(F(x)→G(x))等不是p→q的代换实例。

定理4.2 重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代换实例都是矛盾式。
    证明略。

例4.9 判断下列公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式?
    (1)x(F(x)→G(x))
    (2)xF(x)→(xyG(x，y)→xF(x))
    (3)┐(xF(x)→yG(y))∧yG(y)

    解 为方便起见，用A，B，C分别记(1)，(2)，(3)中的公式。

    (1)取解释I₁:个体域为实数集合R，F(x):x是整数，G(x):x是有理数。在I₁下A为真，因而A不是矛盾式。取解释I₂:个体域仍然为R，F(x):x是无理数，G(x):x能表示成分数。在I₂下A为假，所以A不是永真式。故A是非永真式的可满足式。

    (2)易知B是命题公式p→(q→p)的代换实例，而该命题公式是重言式，所以B是永真式。

    (3)C是命题公式┐(p→q)∧q的代换实例，而该命题公式是矛盾式，所以C是矛盾式。

    有些公式即使是重言式或矛盾式的代换实例，也不容易一眼就能看出来，特别是有些公式，它们不是重言式和矛盾式的代换实例，判断它们是否为永真式或矛盾式更不容易，但有些简单的公式还是可以根据定义判断的。

例4.10 判断下列公式的类型。
    (1)xF(x)→xF(x)
    (2)xyF(x，y)→xyF(x,y)
    (3)x(F(x)∧G(x))→yG(y)

    解 记(1)，(2)，(3)中的公式分别为A,B,C.

    (1)设I为任意一个解释，个体域为D.若存在x₀∈D，使得F(x₀)为假，则xF(x)为假，所以A的前件为假，故A为真。若对于任意x∈D，F(x)均为真，则xF(x)，xF(x)都为真，从而A为真。所以在I下A为真。由I的任意性可知，A是永真式。

    (2)取解释I：个体域为自然数集合N，F(x,y)为x≤y。在I下B的前件与后件均为真，所以B为真。这说明B不是矛盾式。再取I'：个体域仍然为N，F(x,y)为x=y。在I'下，B的前件真而后件假，所以B为假。这又说明B不是永真式，故B是非永真式的可满足式。

    (3)C也是非永真式的可满足式。

习题

1．在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值：
  （1）凡有理数都能被2整除。
  （2）有的有理数能被2整除。
其中(a)个体域为有理数集合,(b)个体域为实数集合。
2．在一阶逻辑中将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a),(b)时命题的真值：
  （1）对于任意的x，均有x²-2=(x+)(x-)。
  （2）存在x，使得x+5=9。
其中(a)个体域为自然数集合，(b)个体域为实数集合。
3．在一阶逻辑中将下列命题符号化：
  （1）没有不能表示成分数的有理数。
  （2）在北京卖菜的人不全是外地人。
  （3）乌鸦都是黑色的。
  （4）有的人天天锻炼身体。
4．在一阶逻辑中将下列命题符号化：
  （1）火车都比轮船快。
  （2）有的火车比有的汽车快。
  （3）不存在比所有火车都快的汽车。
  （4）“凡是汽车就比火车慢”是不对的。
5．给定解释I如下：
  (a)个体域D_I为实数集合R。
  (b)D_I中特定元素=0。
  (c)特定函数(x,y)=x-y，x,y∈D_I。
  (d)特定谓词(x,y)：x=y，(x,y)：x<y，x,y∈D_I。
  说明下列公式在I下的含义，并指出各公式的真值：
  （1）xy(G(x,y)→┐F(x,y))
  （2）xy(F(f(x,y）,a)→G(x,y))
  （3）xy(G(x,y)→┐F(f(x,y),a))
  （4）xy(G(f(x,y),a)→F(x,y))
6．给定解释I如下：
  （a）个体域D=N（N为自然数）。
  （b）D中特定元素=2。
  （c）D上函数(x,y)=x＋y，(x,y)=x·y。
  （d）D上谓词(x,y)：x=y。
  说明下列公式在I下的含义，并指出各公式的真值：
  （1）xF(g(x,a),x)
  （2）xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x))
  （3）xyz(F(f(x,y),z)
  （4）xF(f(x,x),g(x,x))
7．证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式：
  （1）x(F(x)→y(G(y)∧H(x,y)))
  （2）xy(F(x)∧G(y)→H(x,y))