KMP算法图文详解（为什么是next[0]=-1next[j]=k和k=next[k]）

Posted 2023-01-20 快乐江湖

文章目录

• 一：KMP算法解决的问题
• 二：详解KMP
• • （1）暴力匹配的缺点
  • （2）最长相同前缀和后缀
  • （3）究竟怎么回溯
  • （3）next数组
  • （4）求解next数组
  • • A：next[0]=-1
    • B：next[j]=k
    • C：k=next[k]
  • （5）KMP算法代码

一：KMP算法解决的问题

如下有两个字符串，问你：如何快速在主串中找到目标串？

相信大家想到的第一个解决方法就是暴力破解——用两个指针，开始时分别指向两个串的开头，然后比较，如果相同继续扫描下一个字符，一旦出现不相同，两个指针进行回溯，主串的指针回溯到下一位，目标串的指针回溯至第一位，然后继续按照上述步骤比较，如下图

-注意：回溯的步骤在图中表示为了目标串向后移动的，但是实际物理内存中字符串是不可能移动的，这里只是为了形象解释

由此，你可以轻松写出对应代码

int index(string main_str,string aim_str)

	int i=0;
	int j=0;//i和j分别用来扫描主串和目标串
	while(i<=main_str.size()-1 && j<=aim_str.size()-1)
	
		if(main_str[i]==main_str[j])
		
			++i;
			++j;
		
		else
		
			j=1;
			i=++k;
		
	
	if(j>aim_str.size()-1)
		return k;
	else
		return 0;

暴力匹配是可行的，但是时间复杂度一看就很高，所以KMP算法的出现正是为了解决 “如何在主串中快速找到目标串”

二：详解KMP

为了便于介绍，我将主串和目标串设置为这样

• 当然，下面的例子中目标串并未出现在主串中，但不要紧，这里只是为了说明更好的说明
  

（1）暴力匹配的缺点

通过上面的叙述，大家可能已经发现了暴力匹配的缺陷所在——回溯太过频繁了。只要出现不匹配就需要回溯到下一位

这样无脑回溯其实并不合理，比如下面这种情况中，如果让你进行回溯的话，你肯定不会直接回溯到下一位，起码也得是下面这样吧

• 这是因为你明白直接回溯到下一位会导致连第一位都不会匹配，就更别谈后面了
  

所以KMP的算法的核心点就在这里：不要回溯到无效的地方，让其回溯到有效的位置

（2）最长相同前缀和后缀

在继续讲述之前，必须引入一个概念——一个字符串的最长相同前缀和后缀。要想知道什么是最长相同前缀和后缀，首先得明白什么是字符串的前缀和后缀，相信看完下面这个图你就不难理解了

那么，最长相同前缀和后缀你也应该能找出来了吧

• 什么？竟然不是最下面的那个吗？这里就要给大家说明一点，最长相同前后缀不能是字符串本身，因为如果你认为最长相同前后缀可以是字符串本身的话，那么这就是一个恒成立的命题了，那么再继续讨论就没有意义了

（3）究竟怎么回溯

继续使用上面那个“你认为应该这样回溯”的例子

仔细观察你会发现它回溯的位置有些特点？没错，就是最长公共前后缀重合的地方，也就是说让最长相同前缀对齐至后缀

不仅仅是这样，继续观察，目标串发生不匹配时其索引为5，索引5之前的字符串为“ABCAB”，其最长相同前后缀长度为2，同时目标串中也正好是索引为2的地方（也即字母C）与主串发生不匹配的地方（也即字母E）对齐

这意味着所谓让最长相同前缀对齐至后缀其本质就是：记目标串发生不匹配的地方前的字符串的最长相同前后缀长度为$l$，然后回溯时让目标串索引为$l$的地方对齐至此次不匹配的地方

这里我们可以再举几个例子

①：如下目标串的索引为3号的位置发生不匹配

其3号位置前的字符串的最长相同前后缀的长度是1，所以就应该让目标串索引为1的位置与该不匹配处“对齐”

②：如下目标串的索引为5号的位置发生不匹配

其5号位置前的字符串的最长相同前后缀的长度是2，所以就应该让目标串索引为2的位置与该不匹配处“对齐”

讲到这里，大家可能也应该意识到了，这意味着匹配时根本就“不需要”主串，因为每个位置发生不匹配时，总有一个值能确定其应该回溯的位置。这个值就是其前面的字符串的最长相同前后缀的长度

（3）next数组

我们把目标串每个位置发生不匹配时，目标串应该回溯的位置给记录下来，形成一个数组，这个数组就是所谓的next数组。next[i]=j，就表示索引为i的位置发生不匹配，就让其回溯到j的位置继续匹配

next数组的计算方法我其实前面已经说到过了，如下目标的串next数组计算如下，需要注意是由于第一个位置也就是next[0]前面没有串，所以记为-1

A	B	C	A	B	C	M	N
next[0]	next[1]	next[2]	next[3]	next[4]	next[5]	next[6]	next[7]
-1	0	0	0	1	2	3	0

因此依据next数组我们就能确定目标串的回溯位置了，比如下面假设目标串和主串在索引为4的位置发生不匹配，所做的操作如下

（4）求解next数组

KMP算法的思想大部分人是能很轻松的明白的，但是这个算法为什么劝退了很多人呢？就是无法准确，深刻的理解求解next数组的代码，如下

• 上述代码中总共有三个地方如果能理解清楚这个代码也就没问题了。
  next[0]=-1,next[j]=l,k=next[k]，其中k=next[k]最让人摸不着头脑

void getnext(string target_str,int next[])

	int j=0,k=-1;
	next[0]=-1;
	while(j<target_str.size())
	
		if(k==-1 || str[j]==str[k])
		
			j++;
			k++;
			next[j]=k;
		
		else
		
			k=next[k];
		
	

A：next[0]=-1

如下，next[0]=-1是指当目标串的第一个位置发生不匹配时，应该让目标串的索引为-1的位置与当前不匹配的地方对齐

• 你肯定会问，怎么可能有-1的位置啊，这明显越界了啊？
  

这里我们先截取KMP算法的一小段（不要担心你肯定看得懂）

• 下面的j=next[j]指的就是发生不匹配时应该如何回溯
  

因此当代码运行到这里时就会出现j=next[0]=-1，然后重新回到循环，继续判断，此时j=-1，进入if内，j++很明显会等于0，i++会到主串的下一位。所以它的意思就是让目标串的第一位与主串的下一位进行比较

• 现在你应该能理解为什么要设置next[0]=-1了吧

B：next[j]=k

• 对于next[j]=k我认为大家肯定能明白的一点就是在为next数组进行赋值，但是不明白的是为什么下标为j的元素的值是k

首先请大家考虑哪种情况下会有next[j]=k？根据上面的代码自然是k=-1或str[j]=str[k]的时候

当k=-1时，总会有k++，使得k变为0，这样的话next[j]=0，表明前面没有相同的前后缀

一旦k不是-1，满足这个if的唯一条件就是str[j]=str[k]了。如果此时str[j]=str[k]，这就表示此时的位置可以算作相同的前后缀了，我们所做的就是判断下一位了

比如下面，可以看出，此时k来到了C的位置，j也来到了C的位置，他们之前都各自在B的位置，由于相同，所以来到了现在位置，现在他们要判断此刻对应的位置是否可以也将其算入相同的前后缀

非常幸运，他们相同，于是j++，k++，next[j]=3

C：k=next[k]

• KMP算法最难理解的地方就在这里，为了方便说明，我换了一张图

如下，j和k准备比较下一个

很遗憾这个位置，无法使其成为长度为4的相同前后缀，那么根据代码只能执行k=next[k]了。这样画比较难受，我把前缀直接拿到下面来

有没有似曾相识的感觉？没错，好像是主串和目标串，但这不是原来的那个两个串。而是后缀作为了主串，前缀作为了目标串，好的，现在前缀（目标串）的索引为3的位置发生了不匹配，该怎么做？自然是让前缀（目标串）下标为1的位置（next[3]=1）与该不匹配处重新比较

好的，重新组装回去，毕竟这不是真的主串和目标串

现在if继续判断，当然满足，对应位置相同，那么继续i++，j++，于是next[9]=2，此时next数组全部赋值完成。

仔细想一想，下面的这种情况中已经不可能有ABAB,ABAC相等的情况存在了，因为一旦相同，那么next[9]=4了，也即是C之前不可能有长度为4的相同的前后缀，但是没有这么长的或许也有短的呀，你看咋们上面的那个AB=AB不就是一个短的情况吗，所以这也就是为什么有k=next[k]这样的回溯的情况。其实就是在前缀和后缀在比较，只不过一旦遇到不相等，前人栽树后人乘凉罢了！——其实这本质是动态规划

（5）KMP算法代码

我觉得不用我再解释了吧

int KMP(string main_str,string target_str)

	int next[MaxSize],i=0,j=0;
	getnext(target_str,next);
	while(i<main_str.size() && j<target_str.size())
	
		if(j==-1 || main_str[i]==target_str[j])
		
			i++;
			j++;
		
		else
		
			j=next[j];
		
	
	if(j>=target_str.size())
		return i-target_str.size();//返回目标串在主串的第一个字符的位置
	else
		return -1;//找不到返回-1