（转）使用位运算技巧实现加减乘除

Posted 2023-01-09 PacosonSWJTU

转自：https://www.cnblogs.com/greyzeng/p/16637476.html 

题目描述见：LeetCode 29. Divide Two Integers

原题目是：要求不使用乘法、除法和 mod 运算符实现除法。

我们把题目要求提高一点，不用加减乘除和 mod 运算符号，只使用位运算实现加减乘除法。

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【1】实现加法

异或（^）运算就是两个数对应二进制值的无进位相加，比如a = 13且b = 20，a ^ b的结果如下（用二进制表示)

13 = 8 + 4 + 1

20 = 16 + 4

  01101
^ 10100
--------
  11001

结果就是:25

思路可以转换一下，把加法用异或替换，得到两个数二进制无进位信息相加的结果。然后把这个结果加上进位信息，就是两个数相加的最终结果。

如上例，a ^ b = 25, a和b相加的进位信息是01000（十进制就是 8）。25 + 8 = 33，正好是a + b的结果。

抽象一下:

要计算a + b

先算a ^ b = a'

然后得到 a 和 b 相加的进位信息 b'

则a + b = a' + b'。由于不能用加号，所以，我们只能逐个把进位信息叠加。

何时会产生进位信息？

a 和 b 的二进制对应位置上都是1，则会产生进位

每次处理的进位为(a & b) << 1。

实现代码如下:

public static int add(int a, int b) 
    int sum = a;
    while (b != 0) 
        sum = a ^ b;
        b = ((a&b)<<1);
        a = sum;
    
    return sum;

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【2】实现减法

a - b = a + (-b)，

由于不能出现减号，所以，可以用加法来模拟一个数的相反数，因为

x的相反数等于~x + 1，即add(~x,1)。

所以，减法实现如下

// 实现减法
public static int minus(int a, int b) 
    return add(a, negNum(b));

// 某个数n的相反数就是 ~n + 1，由于不能用+号
// 所以是 add(~n,1)
public static int negNum(int n) 
    return add(~n, 1);

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【3】实现乘法

小学算术计算两个数的乘法用的是如下方法，比如 a = 12，b = 22，a * b通过如下方式计算

  19
x 22
------
  38
 38
------
 418

同样方法也适用于二进制，19 的二进制是 10011，22 的二进制是 10110 ,

     10011
x    10110
-------------
     00000
    10011
   10011
  00000
 10011
------------
 110100010

110100010 就是 418。

其本质就是：

b 的二进制值从右往左开始，如果 b 的某一位是 1 ，则把 a 左移一位的值加到结果中，模拟 1 * a，如果 b 的某一位是0，则 a 左移一位的值不加入结果中。 最后累加的结果就是a * b的答案。

位运算实现乘法的完整代码如下

    public static int multi(int a, int b) 
        int res = 0;
        while (b != 0) 
            if ((b & 1) != 0) 
                res = add(res, a);
            
            a <<= 1;
            b >>>= 1;
        
        return res;
    

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【4】实现除法

实现除法的时候，为了防止溢出，我们首先把所有数先转换成正数来算。最后在判断两个数的符号决定是否把结果取其相反数。

假设 a / b = c，则 a = b * c，用二进制来说明，假设：

a = b * (2^7) + b * (2^4) + b * (2^1)，则 c 的二进制一定是10010010。

同理，如果

a = b * (2^3) + b * (2^0)，则 c 的二进制一定是1001。

抽象一下，如果a = b * (2 ^ m1) + b * (2 ^ m2) + b * (2 ^ m3)，则 c 的 m1 位置，m2 位置，m3 位置一定是1，其他位置都是0。

所以，我们的思路可以转换成 a 是由几个 (b * 2的某次方)的结果组成，

使用位运算实现除法的核心代码如下：

    // 全部转成正数来计算
    public static int div(int x, int y) 
        int a = isNeg(x) ? negNum(x) : x;
        int b = isNeg(y) ? negNum(y) : y;
        int res = 0;
        for (int i = 31; i > negNum(1); i = minus(i, 1)) 
            if ((a >> i) >= b) 
                res |= (1 << i);
                a = minus(a, b << i);
            
        
        return isNeg(x) ^ isNeg(y) ? negNum(res) : res;
    
    public static boolean isNeg(int n) 
        return n < 0;
    

其中

            if ((a >> i) >= b) 
                res |= (1 << i);
                a = minus(a, b << i);
            

就是让 a 不断尝试其值是否由(b * 2的某个次方)相加得到。

由于有一些特殊情况，比如在 Java 中，int 类型的系统最小值Integer.MIN_VALUE的相反数依然是Integer.MIN_VALUE。

如果a = Integer.MIN_VALUE且b != -1 && b != Integer.MIN_VALUE，则a / b应该通过如下方式来计算，先让a + 1

然后算(a + 1) / b = c

接着a - (b * c) = d

然后d / b = e

最后c + e = ((a + 1)/b) + ((a - (b * c)) / b) = a / b

即得到 a / b的值。

根据 LeetCode 题目要求，有如下结论：

Integer.MIN_VALUE / (-1) == Integer.MAX_VALUE。

所以除法的主流程代码如下（主要是根据题目要求和系统最小值的特殊情况进行了一些边界讨论，见注释说明内容）

    public static int divide(int dividend, int divisor) 
        if (divisor == Integer.MIN_VALUE) 
            // 任何数（除了系统最小）除以系统最小肯定是0
            // 系统最小除以系统最小肯定是1
            return dividend == Integer.MIN_VALUE ? 1 : 0;
        
        // 除数不是系统最小
        if (dividend == Integer.MIN_VALUE) 
            if (divisor == negNum(1)) 
                // LeetCode 的题目要求
                return Integer.MAX_VALUE;
            
            int res = div(add(dividend, 1), divisor);
            return add(res, div(minus(dividend, multi(res, divisor)), divisor));
        
        // dividend不是系统最小，divisor也不是系统最小
        return div(dividend, divisor);
    

完整代码见

class Solution 
    public static int add(int a, int b) 
        int sum = a;
        while (b != 0) 
            sum = a ^ b;
            b = (a & b) << 1;
            a = sum;
        
        return sum;
    

    public static int negNum(int n) 
        return add(~n, 1);
    

    public static int minus(int a, int b) 
        return add(a, negNum(b));
    

    public static int multi(int a, int b) 
        int res = 0;
        while (b != 0) 
            if ((b & 1) != 0) 
                res = add(res, a);
            
            a <<= 1;
            b >>>= 1;
        
        return res;
    

    public static boolean isNeg(int n) 
        return n < 0;
    

    public static int div(int a, int b) 
        int x = isNeg(a) ? negNum(a) : a;
        int y = isNeg(b) ? negNum(b) : b;
        int res = 0;
        for (int i = 31; i > negNum(1); i = minus(i, 1)) 
            if ((x >> i) >= y) 
                res |= (1 << i);
                x = minus(x, y << i);
            
        
        return isNeg(a) ^ isNeg(b) ? negNum(res) : res;
    

    public static int divide(int dividend, int divisor) 
        if (divisor == Integer.MIN_VALUE) 
            return dividend == Integer.MIN_VALUE ? 1 : 0;
        
        // 除数不是系统最小
        if (dividend == Integer.MIN_VALUE) 
            if (divisor == negNum(1)) 
                return Integer.MAX_VALUE;
            
            int res = div(add(dividend, 1), divisor);
            return add(res, div(minus(dividend, multi(res, divisor)), divisor));
        
        // dividend不是系统最小，divisor也不是系统最小
        return div(dividend, divisor);
    
    // div(a,b) a和b都不能是系统最小