算法复习分治算法动态规划贪心算法

Posted 2020-11-19 hithongming

Notes

## 分治思想和递归表达式

【分治思想】

　　将一个问题分解为与原问题相似但规模更小的若干子问题，递归地解这些子问题，然后将这些子问题的解结合起来构成原问题的解。这种方法在每层递归上均包括三个步骤：

• divide（分解）：将问题划分为若干个子问题
• conquer（求解）：递归地解这些子问题；若子问题Size足够小，则直接解决之
• Combine（组合）：将子问题的解组合成原问题的解

【分治递归表达式】

• 设T(n)是Size为n的执行时间，若Size足够小，如n ≤ C (常数)，则直接求解的时间为θ(1)
  • ①设完成划分的时间为D(n)
  • ②设分解时，划分为a个子问题，每个子问题为原问题的1/b，则解各子问题的时间为aT(n/b)
  • ③设组合时间C(n)
• 则有递归方程总结为：
  • T(n)=θ(1) if n<c
  • T(n)=aT(n/b)+D(n)+C(n) if n≥c
• 技术细节（注意）：
• 在声明、求解递归式时，常常忽略向上取整、向下取整、边界条件
• 边界条件可忽略,这些细节一般只影响常数因子的大小，不改变量级。求解时，先忽略细节，然后再决定其是否重要！

## 求解递归式的方法

【代入法】

• 代入法求解分为两步：
  • 猜测解的形式
  • 用数学归纳法求出解的常数C，并证明正确性，关键步骤是用猜测的解代入到递归式中。
• 做出好的猜测（没有一般方法，只能凭经验）
  • 与见过的解类似，则猜测之。
  • 先证较宽松的上、下界，减小猜测范围。我们可以从下界Ω(n)开始，上界O(n^2)，然后逐渐收敛至(nlog2n)
• 细节修正
  • 有时猜测解是正确的，但数学归纳法却不能直接证明其细节，这是因为数学归纳法不是强大到足以证明其细节。
  • 这时可从猜测解中减去一个低阶项以使数学归纳法得以满足
• 避免陷阱
  • 与求和式的数学归纳法类似，证明时渐近记号的使用易产生错误。
  • 如：证明O(n)时必须严格证明≤cn，不能讲其换做cn+n
• 变量变换
  • 有时改动变量能使未知递归式变为熟悉的式子。例如：
  • 

【代入法例题】

 

【递归树法】

• 递归树最适合用来生成好的猜想，然后可用代入法来验证猜测是否正确
• 需要关注：
  • 达到边界条件所需的迭代次数
  • 迭代过程中的和式。若在迭代过程中已估计出解的形式，亦可用代入法

 

 【递归树法例题】