如约而至(walk)

Posted 2020-11-19 serene-shixinyi

LCA大佬的做法：

考虑暴力的高斯消元，我们优化它。

$sumlimits_{j} gcd(i,j)^{c-d} i^d j^d x_j=b_i$

$sumlimits_{j} gcd(i,j)^{c-d} y_j = frac{b_i}{i^d}$($y_j=j^d x_j$)

那么高斯消元的矩阵的$(i,j)$位置的值就是$gcd(i,j)^{c-d}$，我们令$f(x)=x^{c-d}$

我们对于高斯消元的矩阵，只需要保留记录$D[i][i]$位置上的值就可以了。

然后当我们消到第$i$行时，有

$egin{align*} D[i][j] &= 0 &(j mod i e 0) \\ D[i][j] &= g(i) &(j mod i =0) end{align*}$

证明：

$g(i) =f(i)-sumlimits_{t|i,t<i}g(i)$

令$d=gcd(i,j)$($j mod i e 0$)，此时

$D[i][j]=f(d)-sumlimits_{t|d} g(t) = f(d)-g(d)-sumlimits_{t|d,t<d}g(d)$

因为$g(d) = f(d) - sumlimits_{t|d,t<d}g(d)$

所以$D[i][j]=f(d)-f(d)=0$

当$j mod i =0$时，$gcd(i,j)=i$，所以一开始的$D[i][j]$初始值一样，消的过程中减去的东西一样，所以最后的值也应该一样

 

//Serene
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define ll long long
#define db double
#define For(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
#define Rep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
#define getchar gc
const int maxn=1e6+7,maxt=1000+7;
const ll mod=998244353;
ll n,C,D,Td,b[maxn];

inline char gc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}

char cc;ll ff;
template<typename T>void read(T& aa) {
	aa=0;cc=getchar();ff=1;
	while((cc<‘0‘||cc>‘9‘)&&cc!=‘-‘) cc=getchar();
	if(cc==‘-‘) cc=getchar(),ff=-1;
	while(cc>=‘0‘&&cc<=‘9‘) aa=aa*10+cc-‘0‘,cc=getchar();
	aa*=ff;
}

ll qp(ll x,ll k) {
	ll rs=1;
	while(k) {
		if(k&1) rs=rs*x%mod;
		k>>=1; x=x*x%mod;
	}
	return rs;
}

ll finv(ll x) {return qp(x,mod-2);}

ll qp1(ll x,ll k) {
	if(k<0) return qp(x,k+(mod-1));
	return qp(x,k);
}

ll ans[maxn],f[maxn];

bool solve() {
	For(i,1,n) b[i]=b[i]*finv(qp(i,D));
	For(i,1,n) f[i]=qp1(i,C-D);
	For(i,1,n) {
		if(f[i]==0&&b[i]) return 0;
		else if(f[i]==0) continue;
		for(int j=i<<1;j<=n;j+=i) {
			f[j]=(f[j]-f[i]+mod)%mod;
			b[j]=(b[j]-b[i]+mod)%mod;
		}
		ans[i]=b[i]*finv(f[i])%mod;
	}
	Rep(i,n,1) {
		for(int j=i<<1;j<=n;j+=i) 
			ans[i]=(ans[i]-ans[j]+mod)%mod;
	}
	For(i,1,n) ans[i]=ans[i]*finv(qp(i,D))%mod;
	return 1;
}

int main() {
	freopen("walk.in","r",stdin);
	freopen("walk.out","w",stdout);
	read(n); read(C); read(D); read(Td);
	while(Td--) {
		For(i,1,n) read(b[i]);
		if(!solve()) printf("-1");
		else For(i,1,n) printf("%lld ",ans[i]);
		printf("
");
	}
	return 0;
}