多项式求逆

Posted 2020-11-19 zzyer

多项式求逆

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求 (A(x)) 在 (\%x^{n}) 意义下的逆元 (B(x))

首先求出 (A(x)) 在 (\%x^{lceil frac{n}{2} ceil}) 意义下的逆元 (C(x)),即 $A(x)C(x)=1 $ ((\%x^{lceil frac{n}{2} ceil}))

移项得 (A(x)C(x)-1 = 0) ((\%x^{lceil frac{n}{2} ceil}))

两边平方 (A^{2}(x)C^{2}(x)-2A(x)C(x)+1=0) ((\% x^{n}))

然后两边同时 ( imes B(x)) 得 (A(x)C^{2}(x)-2C(x)+B(x)=0) ((\% x^{n}))

然后得到 (B(x)=2C(x)-A(x)C^{2}(x)) ((\% x^{n}))

(B(x)=C(x)(2-A(x)C(x)))

然后递归求解即可