数论证明(任何一个素数倒数的循环小数位数一定小于素数本身)

Posted 2022-12-15 yzsind

任何一个素数倒数的循环小数位数一定小于素数本身

       一般素数倒数的小数都比较复杂，因为素数的倒数也是一个分数，所以一定是一个循环小数（除了2和5以外） ，但是素数的循环小数位数最大有多少呢，有没有可能非常大，无限长呢，这是本文要解决的问题?

素数倒数的循环小数位数说明：
1/3=0.33...，循环小数=3，循环小数位数=1
1/7=0.142857142857... ，循环小数=142857，循环小数位数=6
1/11=0.0909...，循环小数=09，循环小数位数=2
1/13=0.076923076923...，循环小数=076923，循环小数位数=6
1/17=0.05882352941176470588235294117647...，循环小数=0588235294117647，循环小数位数=16
1/19=0.052631578947368421052631578947368421...，循环小数=052631578947368421，循环小数位数=18
1/23=0.04347826086956521739130434782608695652173913...，循环小数=0434782608695652173913，循环小数位数=22
1/23=0.03448275862068965517241379310344827586206896551724137931...，循环小数=0344827586206896551724137931，循环小数位数=28
1/31=0.032258064516129032258064516129...，循环小数=032258064516129，循环小数位数=15
1/37=0.027027...，循环小数=027，循环小数位数=3
1/41=0.0243902439...，循环小数=02439，循环小数位数=5
...

1/97=0.010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567...，循环小数位数=96

        从以上列表可以看出，素数倒数的循环小数位一般都比较多，但是没有看到过位数大于素数本身的情况，用程序做测试，发现1000以内的数也是如此，因此想是否可以证明一下这个结论。

以下是证明思路：

假设p是一个素数，1/p的循环小数位为x，1/p则可以表示为x/999...9 ，分母总共有x个9，

例如：
1/3=0.33...，循环小数=3，循环小数位数=1，则1/3=3/9
1/7=0.142857142857... ，循环小数=142857，循环小数位数=6，则1/7=142857/999999
1/37=0.027027...，循环小数=027，循环小数位数=3，则1/37=027/999

证明过程：
假设1/p=0.x1x2..xn......，x1x2..xn是循环小数，总共有n位，我们做一些变换：

10^n*(1/p)
=10^n*(0.x1x2..xn......)=x1x2..xn+0.x1x2..xn......

=>10^n*(0.x1x2..xn......)-0.x1x2..xn......=x1x2..xn

=>(10^n-1)*(0.x1x2..xn......)=x1x2..xn

=>0.x1x2..xn......=x1x2..xn/(10^n-1)

=>0.x1x2..xn......=x1x2..xn/999...9(总共有n-1个9)

假设K=999...9，总有p-1个9，通过上述说明，我们只要能找到一个整数x，x小于K并且1/p=x/K，则我们的命题得证。

要证明这个结论需要引用费马小定理，

参见：
百度百科：http://baike.baidu.com/view/263807.htm

费马小定理是数论中的一个重要定理，其一段内容为： 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡1（mod p）

假设p是一个素数，这里我们取a=10，(10,p)=1
则有结论

10^(p-1) ≡1（mod p）

10^(p-1)-1≡0（mod p）

10^(p-1)-1=999...9，总共有p-1个9，这里缩写为K
K≡0（mod p），因此存在一个整数x，使得
x*p=K
=>1/p=x/K
因为1/p小于1，所以x肯定也小于K，由于K由p-1个9构成，所以x的位数也小于p.

到此命题得证。