算法时间复杂度

Posted 2022-12-14 Joe-Han

1. 算法度量标准

算法设计的标准包括以下四个方面

• 正确性（correctness）
  
  • 算法应满足用户的具体需求
• 可读性（readability）
  
  • 算法应好读，利于读者对算法的理解
• 健壮性（robustness）
  
  • 算法有好的容错能力，当输入异常或非法数据时，能够正确应对适当处理，不会产生莫名其妙的输出结果
• 时间和空间效率（time and space efficiency）
  
  • 时间效率指的是算法的执行时间应足够短 ；空间效率指算法执行需要的最大存储空间应足够小

一个用高级程序语言编写的程序，在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：

1. 算法本身的策略
2. 问题的规模（通常以符号N表示）
3. 编译产生的代码质量
4. 机器的执行指令的速度

第1条当然是决定一个算法好坏的根本，而第3条由软件决定，第4条由机器硬件决定。也就是说，抛开与计算机软件、硬件有关的因素，一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模。

2. 时间复杂度

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数。若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的时间复杂度，简称为时间复杂度。

推导O的方法：

• 用常数1取代运行时间中所有的加法常数， 计算出基本操作的执行次数T(n)
• 计算出T(n)的数量级，忽略常量、低次幂和最高次幂的系数，忽略常量、低次幂和最高次幂的系数
• 用大O来表示时间复杂度

O 的常用运算规则：

• $O(f)+O(g) = O(max(f, g)) = O(f + g)$
• $O(f)O(g) = O(fg)$
• $O(cf) = O(f)$ (c为常数)

对数复杂度从何而来：如果一个算法用常数时间 O (1) 将问题的规模削减为原始问题的一部分，则该算法的复杂度为 O (logn)。例如幂运算、折半查找

3. 主定理

利用主定理可以计算递归/分治问题的时间复杂度：将原问题拆分成a个子问题，每个子问题的规模是n/b。f(n)表示分解与合并步骤共消耗的时间复杂度。

————————————————————————————————

————————————————————————————————

————————————————————————————————

4. NP问题

• P是所有可在多项式时间内用确定算法求解的判定问题的集合
  
  • 对于一个问题X，若存在一个算法XSolver，能在$O(n^k)$时间内求解（k为某个常数），那么就称这个问题属于P
• NP是所有可用多项式时间算法验证其猜测准确性的问题的集合
  
  • 对于一个问题X，若存在一个算法XChecker，能在多项式时间复杂度内给出验证结果，那么就称这个问题属于NP
• NP-Complete的非形式化定义
  
  • 如果一个问题属于NP，且该问题与NP中的任何问题是一样难（hard）的，则称该问题属于NPC，或称之为NP完全的（ NP-Complete ）