容斥原理Devu和鲜花

Posted 2022-12-13 skywalker767

Devu 有 N 个盒子，第 i 个盒子中有 Ai 枝花。
同一个盒子内的花颜色相同，不同盒子内的花颜色不同。
Devu 要从这些盒子中选出 M 枝花组成一束，求共有多少种方案。
若两束花每种颜色的花的数量都相同，则认为这两束花是相同的方案。
结果需对 109+7 取模之后方可输出。

题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/216/

转化题目要求，也就是每个盒子都有$a_i$个花，想要从$n$个盒子中每个都任意选出$x_i$个，组出$m$，也就是：
$$x_1+x_2+x_3+...+x_n=m+n$$
每个$x_i$可以为$0$，这个我们并不擅长，于是我们加上$n$ ，那么也就是，总共有$n$个不为$0$的盒子，我们要每个盒子挑出一部分，加起来和为$m+n$个，这个我们十分擅长，用隔板法即可，答案为$C_{m+n-1}^{k-1}$
但是题目并没有那么简单，我们仍需满足
$$\forall x_i\le a_i$$
我们发现这个并不好构造，于是我们考虑反面，如果每一个盒子都可以随意挑，没有任何限制 ,那么答案是
$$C_{m+n-1}^{n-1}$$
这样，减去不满足的即可，这时用到容斥原理。
那么，我们该如何考虑他的反面呢？答案是，只要有一个$x_i$超过$a_i$即可，也就是
$$\exists x_i\ge a_i+1$$
这时候考虑容斥原理，我们假设第一个事件（$x_i\ge a_i+1$）为$s_i$
那么答案为：
$$\begin{gathered} C_{m+k-1}^{k-1}-|s_1\cup s_2\cup ...\cup s_n| \\ 这时候就可以以容斥原理展开 \\ {C}_{m+k-1}^{k-1}-|s_1|-|s_2|-|s_3|-|s_4|...+|s_1\cap s_2|+|s_1\cap s_3|+... \\ end \end{gathered}$$
柿子推完，不代表题目已经完了，这里我们还要思考一个问题：$s_i$怎么求？
首先，我们在明确一下$s_i$的定义：即，在第$i$个物品中取出至少$a_i+1$个物品
以$s_i$举例子，我们总共有$m+n$个,现在要取走至少$a_i+1$个，剩下$m+n-(a_i+1)$个，那么其他还是随意取，我们就用隔板法，也就是留$a_i+1$个物品，给我们的第$i$个物品，那么其他还是随便取，我们再用隔板法，就能算出这种情况下的答案：$C_{m+n-1-(a_i+1)}^{n-1}$,如果两个物品都大于等于$a_i+1$，那么答案为：$C_{m+n-1-(a_i+1)-(a_{i^{\prime }}+1)}^{n-1}$

那么考虑每个物品的枚举方法，因为物品数，很小，我们可以用二进制枚举，枚举的方案数为$2^n$,算组合数我们用最朴素的方式，时间复杂度大概是:$O(2^n\ast n)$

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i , a ,  b以上是关于容斥原理Devu和鲜花的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
 Codeforces 451 E. Devu and Flowers（组合数学，数论，容斥原理）
 Devu and Flowers  lucas定理+容斥原理
 Codeforces 451E Devu and Flowers容斥原理+卢卡斯定理
 A - Character Encoding HDU - 6397 - 方程整数解-容斥原理
 容斥例题Devu and Flowers
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