度为n的不可约多项式和Fp^n 这个域的关系

Posted 2022-12-13 Zetaa

前言：仅个人小记。

域$F_p$，p是素数。
域$F_{p^n}$是域$F_p$的扩域，即$F_p<F_{p^n}$。
$$f(x)\in F_p[x]={\Sigma }_{i=0}^n{a}_i{x}^i,a_i\in F_p,其中n不受限制$$
如果$f(x)$是一个度为 n 的不可约多项式，则$$F_{p^n}\cong \frac{F_p[x]}{<f>}=F_p[x]中所有度小于n的多项式$$
显然，$F_p[x]$中度小于n的多项式一共有$p^n$。这与$F_{p^n}$中的元素个数为$p^n$是吻合的。